O que é pi (π)?

Pi não pode ser escrito como fração de dois inteiros (provado por Johann Heinrich Lambert em 1761). Também é transcendental: não é solução de nenhum polinómio com coeficientes inteiros (provado por Ferdinand von Lindemann em 1882). Isso significa que é impossível quadrar o círculo com régua e compasso. Sua expansão decimal nunca termina e nunca se repete.

Arquimedes de Siracusa (~250 a.C.) foi o primeiro a limitar pi de forma rigorosa, mostrando que ele fica entre 3+10/71 e 3+1/7 usando polígonos inscritos e circunscritos com 96 lados. Os babilónios usavam 3.125 e os egípcios 3.1605. O símbolo π foi introduzido pelo matemático galês William Jones em 1706 e popularizado por Euler. Em 2024, pi já havia sido calculado com mais de 100 trilhões de casas decimais.

Pi aparece muito além dos círculos: na distribuição normal (a curva em sino contém √(2π)), na identidade de Euler e^(iπ) + 1 = 0, na probabilidade de dois inteiros aleatórios não terem fator comum (6/π²), na aproximação fatorial de Stirling n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ, na mecânica quântica e na fórmula do volume de uma esfera (4πr³/3).

π ≈ 3.14159265358979323846. Irracional (Lambert, 1761). Transcendental (Lindemann, 1882). O Dia do Pi é 14 de março (3/14 no formato de data dos EUA). A fração 22/7 superestima pi em 0,04%. A aproximação melhor 355/113 é correta até 6 casas decimais. Não se sabe se pi é um número normal (toda sequência de dígitos aparece com igual frequência), embora isso seja amplamente acreditado.