Czym jest pi (π)?
Pi to stosunek obwodu dowolnego okręgu do jego średnicy. Niezależnie od rozmiaru okręgu ten stosunek jest zawsze dokładnie taki sam: π = 3,14159265358979... Definicja jest geometryczna, ale pi pojawia się w fizyce, rachunku prawdopodobieństwa, inżynierii i w każdej gałęzi matematyki.
Pi nie da się zapisać jako ułamka dwóch liczb całkowitych (udowodnił Johann Heinrich Lambert w 1761 roku). Jest też liczbą transcendentalną: nie jest rozwiązaniem żadnego wielomianu o współczynnikach całkowitych (udowodnił Ferdinand von Lindemann w 1882 roku). Oznacza to, że niemożliwe jest skwadratura koła przy użyciu cyrkla i linijki. Rozwinięcie dziesiętne nigdy się nie kończy i nigdy się nie powtarza.
Archimedes z Syrakuz (ok. 250 r. p.n.e.) jako pierwszy ściśle oszacował pi, pokazując, że leży ono między 3+10/71 a 3+1/7 przy użyciu wielokątów wpisanych i opisanych o 96 bokach. Babilończycy używali 3,125, a Egipcjanie 3,1605. Symbol π wprowadził walijski matematyk William Jones w 1706 roku, a Euler uczynił go popularnym. Na rok 2024 obliczono ponad 100 bilionów cyfr liczby pi.
Pi pojawia się daleko poza okręgami: w rozkładzie normalnym (krzywa dzwonowa zawiera √(2π)), w tożsamości Eulera e^(iπ) + 1 = 0, w prawdopodobieństwie, że dwie losowe liczby całkowite nie mają wspólnego dzielnika (6/π²), we wzorze Stirlinga n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ, w mechanice kwantowej oraz we wzorze na objętość kuli (4πr³/3).
π ≈ 3,14159265358979323846. Niewymierne (Lambert, 1761). Transcendentalne (Lindemann, 1882). Dzień Pi to 14 marca (3/14 w amerykańskim zapisie daty). Ułamek 22/7 zawyża pi o 0,04%. Lepsze przybliżenie 355/113 jest poprawne do 6 miejsc po przecinku. Nie wiadomo, czy pi jest liczbą normalną (czy każda sekwencja cyfr pojawia się z jednakową częstością), ale powszechnie się w to wierzy.
Archimedes użył wielokątów 96-bocznych, by wykazać 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7, czyli 3,1408 < π < 3,1429. Nie obliczył π bezpośrednio, lecz zamknął je w przedziale. Metoda działa, bo obwód okręgu leży między obwodami obu wielokątów.
Pi jest liczbą niewymierną. Jej rozwinięcie dziesiętne nigdy się nie kończy i nie powtarza. Poniższe cyfry zostały zweryfikowane zgodnie z wzór leibniza.
FAQ
-
Kto odkrył π i kiedy?
Starożytni Egipcjanie i Babilończycy przybliżali π około 1900-1600 p.n.e. Archimedes z Syrakuz (~250 p.n.e.) podał pierwszą rygorystyczną metodę wyznaczania granic tej stałej. Walijski matematyk William Jones wprowadził symbol π w 1706 roku, a Leonhard Euler spopularyzował go na całym świecie. -
Dlaczego 14 marca nazywamy Dniem Liczby Pi?
W amerykańskim formacie daty 14 marca zapisuje się jako 3/14, co odpowiada trzem pierwszym cyfrom π (3,14...). Dzień Liczby Pi został zorganizowany po raz pierwszy przez fizyka Larry'ego Shawa w San Francisco Exploratorium w 1988 roku, a Kongres USA oficjalnie go uznał w 2009 roku. -
Kiedy udowodniono, że π jest liczbą niewymierną?
Johann Heinrich Lambert udowodnił niewymierność π w 1761 roku, co oznacza, że nie można jej zapisać jako prostego ułamka. Matematycy przez wieki posługiwali się przybliżeniami takimi jak 22/7, nie wiedząc, czy dokładny ułamek istnieje. -
Kiedy udowodniono, że π jest liczbą przestępną?
Ferdinand von Lindemann udowodnił przestępność π w 1882 roku. Rozstrzygnęło to starożytny grecki problem kwadratury koła - skonstruowania kwadratu o tym samym polu co koło za pomocą cyrkla i linijki - udowadniając, że jest to niemożliwe. -
Jaki wzór służy do obliczania π z dokładnością do miliardów cyfr?
Współczesne obliczenia wykorzystują wzór Chudnovsky'ego oraz wzór Baileya-Borweina-Plouffe'a (BBP). Wzór BBP (opublikowany w 1995 roku) pozwala obliczyć dowolną cyfrę szesnastkową π bezpośrednio, bez obliczania cyfr poprzedzających.
Pi
Zapamiętaj pi, e i 38 stałych matematycznych metodą ścieżki na klawiaturze numerycznej
Zagraj teraz - za darmoBez konta. Działa na każdym urządzeniu.