Cosa sono i numeri complessi?
Un numero complesso ha due parti: una parte reale e una parte immaginaria. L'unità immaginaria i soddisfa i² = -1. Ogni numero reale è un numero complesso con b = 0. I numeri complessi riempiono un piano 2D invece di una retta 1D, dando a ogni equazione polinomiale esattamente tante radici quanto il suo grado.
Multiplying by i is a 90-degree counterclockwise rotation. Multiplying by i twice (i.e. by i²) is a 180-degree rotation, which turns 1 into -1. So i² = -1 is not an algebraic trick; it is a rotation.
Sui numeri reali, x²+1=0 non ha soluzione. Sui numeri complessi ne ha due: i e -i. Il teorema fondamentale dell'algebra afferma: estendi ai numeri complessi e ogni polinomio di grado n ha esattamente n radici.
| POLYNOMIAL | REAL ROOTS | COMPLEX |
|---|---|---|
| x - 3 = 0 | 1 (x=3) | 1 |
| x² - 4 = 0 | 2 (±2) | 2 |
| x² + 1 = 0 | 0 real roots | 2 (±i) |
| x³ - 1 = 0 | 1 real root | 3 |
| x⁴ + 4 = 0 | 0 real roots | 4 |
| Every degree-n polynomial has exactly n complex roots (counting multiplicity) |
I numeri complessi estendono la retta reale a un piano 2D introducendo i, dove i al quadrato è uguale a -1. Ogni numero complesso z = a + bi ha una parte reale a, una parte immaginaria b, modulo |z| = sqrt(a al quadrato + b al quadrato), e argomento arg(z) = atan(b/a). La moltiplicazione per e^(i*theta) ruota di theta radianti. Il teorema fondamentale dell'algebra afferma che ogni polinomio di grado n ha esattamente n radici complesse contando la molteplicità. I numeri complessi sono la base della meccanica quantistica, dell'elaborazione dei segnali e dell'identità di Eulero.
Pi
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