Что такое комплексные числа?
Комплексное число состоит из двух частей: действительной и мнимой. Мнимая единица i удовлетворяет равенству i² = -1. Любое вещественное число - это комплексное число с b = 0. Комплексные числа образуют не одномерную прямую, а двумерную плоскость и дают каждому полиномиальному уравнению ровно столько корней, какова его степень.
Умножение на i означает поворот на 90 градусов против часовой стрелки. Умножение на i дважды, то есть на i², даёт поворот на 180 градусов и переводит 1 в -1. Поэтому i² = -1 - это не алгебраический фокус, а поворот.
Над вещественными числами уравнение x²+1=0 не имеет решений. Над комплексными числами у него два решения: i и -i. Основная теорема алгебры утверждает: если расшириться до комплексных чисел, то каждый многочлен степени n имеет ровно n корней.
| МНОГОЧЛЕН | ВЕЩЕСТВЕННЫЕ КОРНИ | КОМПЛЕКСНЫЕ |
|---|---|---|
| x - 3 = 0 | 1 (x=3) | 1 |
| x² - 4 = 0 | 2 (±2) | 2 |
| x² + 1 = 0 | 0 reelle Nullstellen | 2 (±i) |
| x³ - 1 = 0 | 1 reelle Nullstelle | 3 |
| x⁴ + 4 = 0 | 0 reelle Nullstellen | 4 |
| Jedes Polynom vom Grad n hat genau n komplexe Nullstellen, Vielfachheiten mitgezählt |
Тождество Эйлера · Теорема де Муавра · Иррациональные числа
Комплексные числа расширяют вещественную числовую прямую до двумерной плоскости, вводя i, где i² = -1. Каждое комплексное число z = a + bi имеет действительную часть a, мнимую часть b, модуль |z| = sqrt(a² + b²) и аргумент arg(z) = atan(b/a). Умножение на e^(i*theta) соответствует повороту на theta радиан. Основная теорема алгебры утверждает, что каждый многочлен степени n имеет ровно n комплексных корней с учётом кратностей. Комплексные числа лежат в основе квантовой механики, обработки сигналов и тождества Эйлера.
Pi
Запоминайте пи, e и 38 математических констант методом пути по цифровой клавиатуре
Играть сейчас - бесплатноБез регистрации. Работает на любом устройстве.