√2 (2 का वर्गमूल) क्या है?
√2 एक इकाई वर्ग के विकर्ण की लंबाई है। यदि भुजा 1 वाला एक वर्ग लें, तो एक कोने से विपरीत कोने तक की दूरी ठीक √2 होती है। यही पाइथागोरस का प्रमेय है: 1² + 1² = (√2)²।
लगभग 500 ईसा पूर्व पाइथागोरसियों ने खोजा कि √2 को p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता, जहाँ p और q पूर्णांक हों। विरोधाभास द्वारा प्रमाण अत्यंत सुंदर है: मान लें √2 = p/q न्यूनतम रूप में है। तब 2q² = p², इसलिए p² सम है, अतः p सम होगा; p = 2k लिखें। तब 2q² = 4k², इसलिए q² = 2k², अतः q भी सम है। यह इस मान्यता का विरोधाभास है कि p/q न्यूनतम रूप में था। इसलिए √2 अपरिमेय है।
सतत भिन्न [1; 2, 2, 2, …] से मिलने वाले convergents। हर भिन्न उस हर (denominator) के लिए सबसे अच्छा परिमेय सन्निकटन है।
| Bruch | Dezimalzahl | Fehler |
|---|---|---|
| 1/1 | 1,000 | 0,41421 |
| 3/2 | 1,500 | 0,08579 |
| 7/5 | 1,400 | 0,01421 |
| 17/12 | 1,41667 | 0,00246 |
| 99/70 | 1,41429 | 0,0000849 |
√2 बीजीय है (यह x² = 2 को संतुष्ट करता है), लेकिन अपरिमेय है। त्रिकोणमिति में: sin(45°) = cos(45°) = 1/√2। A-paper श्रृंखला (A4, A3, A2…) 1:√2 अनुपात का उपयोग करती है, ताकि कागज़ को आधा मोड़ने पर वही अनुपात बना रहे। पूर्ण परिशुद्धता तक मान: 1.41421356237309504880168872…
Each right triangle has one leg equal to the previous hypotenuse and one leg equal to 1. The hypotenuses are √1, √2, √3, √4, √5… Most are irrational. √2 (red) was the first proved irrational, by the Pythagoreans around 500 BC.
2 का वर्गमूल लगभग 1.41421356237309504880 है। यह पहली संख्या थी जिसकी अपरिमेयता का प्राचीन यूनानियों ने लगभग 500 ईसा पूर्व प्रमाण दिया। यह बीजीय है और x² = 2 को संतुष्ट करता है। यह इकाई वर्ग के विकर्ण की लंबाई के रूप में, equal-temperament संगीत-स्वरमापन में (जहाँ हर सेमीटोन आवृत्ति को 2 के 12वें मूल से गुणा करता है), A-series कागज़ के आयामों में (A4 को मोड़ने पर A5 मिलता है, वही अनुपात), और जब पाइथागोरस प्रमेय में दोनों लंबवत भुजाएँ समान हों तब दिखाई देता है।
2 का वर्गमूल is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the सतत भिन्न.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
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