e (ইউলারের সংখ্যা) কী?
e হলো একমাত্র সংখ্যা যার জন্য eˣ ফাংশনের অন্তরক আবার সেই eˣ-ই হয়। যেকোনো একটি পরিমাণকে যদি বছরে 100% হারে অবিরাম বাড়তে দেন, তবে এক বছর পরে সেটি শুরু মানের e গুণ হবে। অন্য কোনো ভিত্তির এই স্ব-সদৃশ বৈশিষ্ট্য নেই।
n বাড়ার সঙ্গে সঙ্গে ধারাটি নিচ থেকে e-এর দিকে ধাবিত হয়, 2.71828182845904…-এ অভিসারিত হয়।
| n | (1 + 1/n)ⁿ | e থেকে দূরত্ব |
|---|---|---|
| 1 | 2.000000 | 0.71828 |
| 10 | 2.593742 | 0.12454 |
| 100 | 2.704814 | 0.01347 |
| 1 000 | 2.716924 | 0.00136 |
| 1 000 000 | 2.718281 | 0.0000014 |
| ∞ | 2.71828… | 0 |
যৌগিক সুদের ব্যাখ্যা: কোনো ব্যাংক যদি বছরে 100% সুদ দেয় কিন্তু বছরে n বার সুদ হিসাব করে, তবে আপনার টাকা (1 + 1/n)ⁿ গুণ বেড়ে যাবে। মাসিক চক্রে মান হয় 2.613, প্রতি সেকেন্ডে চক্রে 2.718, আর অবিরাম চক্রে ঠিক e।
x=1-এ বক্ররেখার উচ্চতা e ≈ 2.718 এবং স্পর্শকের ঢালও e। অন্য কোনো ভিত্তি b^x-এর এই বৈশিষ্ট্য নেই।
জ্যাকব বার্নুলি 1683 সালে যৌগিক সুদ নিয়ে কাজ করতে গিয়ে e আবিষ্কার করেন। ইউলার 1731 সালে এটিকে e নামে চিহ্নিত করেন। এটি অমূলদ (Euler, 1737) এবং অতীন্দ্রিয় (Hermite, 1873)। এর দশমিক বিস্তার 2.71828182845904523536… কখনো পুনরাবৃত্ত হয় না।
$1-কে 100% বার্ষিক সুদে ধরলে: মাসিক চক্রে $2.613, দৈনিক চক্রে $2.714, প্রতি সেকেন্ডে $2.718। n দিকে ∞ হলে সীমামান ঠিক e।
e (ইউলারের সংখ্যা) প্রায় 2.71828182845904523536। এটি একমাত্র সংখ্যা যার জন্য e^x ফাংশন প্রতিটি বিন্দুতে নিজেরই অন্তরক। জ্যাকব বার্নুলি 1683 সালে যৌগিক সুদ নিয়ে গবেষণা করতে গিয়ে এটি খুঁজে পান। লেওনহার্ড ইউলার 1731 সালের দিকে এর নাম e দেন। e অমূলদ (Euler, 1737) এবং অতীন্দ্রিয় (Hermite, 1873)। ধারাবাহিক বৃদ্ধি ও ক্ষয়, প্রাকৃতিক লগারিদম, normal distribution, যৌগিক সুদ, তেজস্ক্রিয় ক্ষয় এবং ইউলারের পরিচয় e^(i*pi) + 1 = 0-তে এর উপস্থিতি রয়েছে।
Euler's Number e একটি অমূলদ সংখ্যা। এর দশমিক বিস্তার কখনো শেষ হয় না এবং পুনরাবৃত্তি হয় না। নিচে দেখানো অঙ্কগুলো Taylor series অনুযায়ী যাচাইকৃত।
FAQ
-
e কে এবং কখন আবিষ্কার করেন?
জ্যাকব বার্নৌলি ১৬৮৩ সালে চক্রবৃদ্ধি সুদ নিয়ে গবেষণার সময় প্রথম এই ধ্রুবকটি প্রত্যক্ষ করেন। লিওনহার্ড অয়লার ১৭৩১ সালের দিকে 'e' বর্ণটি ব্যবহার শুরু করেন এবং এর ধর্মাবলী নিয়ে পদ্ধতিগত ফলাফল প্রকাশ করেন। -
এই ধ্রুবকটিকে কেন e বলা হয়?
অয়লার ১৭২৮ সালের দিকে একটি অপ্রকাশিত গবেষণাপত্রে প্রথম 'e' বর্ণটি ব্যবহার করেন। এটি অয়লারের নামের আদ্যক্ষর নাকি এক্সপোনেনশিয়াল বোঝাতে ব্যবহৃত হয়েছিল তা নিয়ে মতভেদ রয়েছে। তার বিপুল প্রকাশনার প্রভাবে এই নামটি প্রতিষ্ঠিত হয়। -
e কখন ট্রান্সসেনডেন্টাল হিসেবে প্রমাণিত হয়?
চার্লস হারমাইট ১৮৭৩ সালে প্রমাণ করেন যে e একটি ট্রান্সসেনডেন্টাল সংখ্যা, যা এটিকে ইতিহাসে প্রমাণিত প্রথম ট্রান্সসেনডেন্টাল সংখ্যার মর্যাদা দেয়। এটি এক দশক পর লিন্ডেম্যানকে অনুরূপ পদ্ধতিতে পাই-এর ট্রান্সসেনডেন্টাল প্রকৃতি প্রমাণে উৎসাহিত করেছিল। -
অর্থনীতি ও অর্থায়নে e কোথায় ব্যবহৃত হয়?
ধারাবাহিক চক্রবৃদ্ধি সুদে e ব্যবহৃত হয়: যদি মূলধন P বার্ষিক r হারে t বছরের জন্য বিনিয়োগ করা হয়, তবে চূড়ান্ত মান হয় P গুণ e^(rt)। জ্যাকব বার্নৌলি ঠিক এভাবেই ধ্রুবকটি খুঁজে পান - বছরে অসীম সংখ্যক বার সুদ চক্রবৃদ্ধি হলে কী ঘটে তা পরীক্ষা করে। -
স্বাভাবিক লগারিদম কী এবং একে কেন স্বাভাবিক বলা হয়?
স্বাভাবিক লগারিদম (ln) হলো e ভিত্তিক লগারিদম। একে স্বাভাবিক বলা হয় কারণ এটি 1/x ফাংশনের ইন্টিগ্রাল বা বিপরীত অন্তরকলজ। ১৬৬৮ সালে নিকোলাস মারকেটর তার 'লগারিদমোটেক্নিয়া' গ্রন্থে এই ধারণাটি উপস্থাপন করেন।
Pi
নামপ্যাড পাথ পদ্ধতিতে পাই, e আর 38টি গাণিতিক ধ্রুবক মুখস্থ করুন
এখনই খেলুন - বিনামূল্যেকোনো অ্যাকাউন্টের প্রয়োজন নেই। যেকোনো ডিভাইসে কাজ করে।