e (ऑयलर संख्या) क्या है?
e वह अद्वितीय संख्या है जिसके लिए फलन eˣ का अवकलज वही eˣ होता है। किसी भी राशि को लें और उसे प्रति वर्ष 100% की दर से लगातार बढ़ने दें। ठीक एक वर्ष बाद आपके पास शुरुआती राशि का e गुना होगा। किसी और आधार में यह आत्म-संदर्भी गुण नहीं मिलता।
जैसे-जैसे n बढ़ता है, यह श्रेणी नीचे से e की ओर बढ़ती है और 2.71828182845904… पर अभिसरित होती है।
| n | (1 + 1/n)ⁿ | Abstand zu e |
|---|---|---|
| 1 | 2.000000 | 0.71828 |
| 10 | 2.593742 | 0.12454 |
| 100 | 2.704814 | 0.01347 |
| 1 000 | 2.716924 | 0.00136 |
| 1 000 000 | 2.718281 | 0.0000014 |
| ∞ | 2.71828… | 0 |
चक्रवृद्धि ब्याज की व्याख्या: यदि कोई बैंक 100% वार्षिक ब्याज दे लेकिन वर्ष में n बार संयोजित करे, तो आपकी राशि (1 + 1/n)ⁿ से बढ़ती है। मासिक संयोजन पर 2.613 मिलता है। हर सेकंड संयोजन पर 2.718। सतत संयोजन पर ठीक e मिलता है।
x=1 पर वक्र की ऊँ चाई e ≈ 2.718 है और स्पर्शरेखा की ढाल भी e है। किसी अन्य आधार b^x में यह गुण नहीं होता।
जैकब बर्नोली ने 1683 में चक्रवृद्धि ब्याज का अध्ययन करते हुए e की खोज की। ऑयलर ने 1731 में इसे e नाम दिया। यह अपरिमेय है (Euler, 1737) और ट्रान्ससेंडेंटल है (Hermite, 1873)। इसका दशमलव विस्तार 2.71828182845904523536… कभी दोहराता नहीं।
$1 को 100% वार्षिक ब्याज पर रखें: मासिक संयोजन से $2.613, दैनिक से $2.714, हर सेकंड से $2.718 मिलता है। n→∞ होने पर सीमा ठीक e है।
e (ऑयलर संख्या) लगभग 2.71828182845904523536 है। यह वह अद्वितीय संख्या है जिसके लिए फलन e^x हर बिंदु पर अपने ही अवकलज के बराबर होता है। जैकब बर्नोली ने 1683 में चक्रवृद्धि ब्याज का अध्ययन करते हुए इसे खोजा। लेओनहार्ड ऑयलर ने लगभग 1731 में इसे e नाम दिया। e अपरिमेय (Euler, 1737) और ट्रान्ससेंडेंटल (Hermite, 1873) है। यह सतत वृद्धि और क्षय, प्राकृतिक लघुगणकों, सामान्य वितरण, चक्रवृद्धि ब्याज, रेडियोधर्मी क्षय, और ऑयलर की पहचान e^(i*pi) + 1 = 0 में दिखाई देता है।
ऑयलर संख्या e is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the टेलर श्रेणी.
Pi
नमपैड-पथ विधि से पाई, e और 38 गणितीय अचरों को कंठस्थ कीजिए
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