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ζ(3) ≈ 1.20205. यह 1/n³ का योग है। 1978 में रोजर अपेरी ने सिद्ध किया कि यह अपरिमेय है। π के साथ कोई बंद रूप अब भी अज्ञात है।
π²/6 ≈ 1.6449. 1734 में ऑयलर ने सिद्ध किया कि 1+1/4+1/9+1/16+⋯ = π²/6। पहली बार π भिन्नों के योग में उभरा और वृत-गणित को संख्या-सिद्धांत से जोड़ा।
G ≈ 0.91597. वैकल्पिक योग 1−1/9+1/25−⋯. यह उन प्रसिद्ध नियतांकों में से एक है जिनकी अपरिमेयता अब तक सिद्ध नहीं हुई।
C₁₀ = 0.123456789101112... ट्रान्ससेंडेंटल (Mahler, 1937) और आधार 10 में normal (Champernowne, 1933)। एक ऐसी संख्या जिसमें हर सीमित अंक-क्रम कहीं न कहीं मिलता है।
सम्मिश्र संख्याएँ वास्तविक संख्या रेखा को एक समतल तक विस्तृत करती हैं। i = sqrt(-1). हर बहुपद की एक जड़ होती है। क्वांटम यांत्रिकी, सिग्नल प्रोसेसिंग और ऑयलर की पहचान की नींव।
x = a0 + 1/(a1 + 1/(a2+...)). अपरिमेय संख्याओं को परिमेयों से लगभग व्यक्त करने का सबसे सटीक तरीका। pi = [3;7,15,1,292...], phi = [1;1,1,1,...], sqrt(2) = [1;2,2,2,...].
λ ≈ 1.3035. एक अपवाद को छोड़कर सभी look-and-say श्रेणियों की अद्वितीय वृद्धि-दर। 1986 में जॉन कॉनवे के कॉस्मोलॉजिकल प्रमेय ने इसकी सार्वभौमिकता सिद्ध की।
(cosθ + i sinθ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ. द मोआवर का प्रमेय सम्मिश्र संख्याओं को त्रिकोणमिति से जोड़ता है और सम्मिश्र संख्याओं की nवीं घात, nवें मूल और कोणीय ज्यामिति को गणनीय बनाता है।
e ≈ 2.71828. यह एकमात्र संख्या है जिसकी वृद्धि-दर हर क्षण उसके वर्तमान मान के बराबर होती है। प्राकृतिक लघुगणक का आधार और सतत गणित की बुनियाद।
E ≈ 1.6066. यह मर्सेन संख्याओं के व्युत्क्रमों का योग है। पॉल एर्डोश ने 1948 में दो की घातों की द्विआधारी संरचना का उपयोग करके इसकी अपरिमेयता सिद्ध की।
e^(iπ) + 1 = 0. पाँच मौलिक नियतांक, एक ही समीकरण में। ऑयलर ने 1748 में प्रकाशित किया। कई सर्वेक्षणों में इसे गणित का सबसे सुंदर समीकरण चुना गया।
δ ≈ 4.66920. यह वह सार्वभौमिक अनुपात है जिसके साथ period-doubling से अराजक व्यवहार की ओर संक्रमण तेज़ होता है। मिशेल फ़ाइगेनबाउम ने 1975 में इसे एक कैलकुलेटर पर खोजा।
हर संख्या, पिछली दो संख्याओं का योग है: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... इनके अनुपात स्वर्ण अनुपात की ओर बढ़ते हैं। ये सूरजमुखी, शंखों और पास्कल त्रिभुज में दिखाई देती हैं।
हर समतली मानचित्र को केवल 4 रंगों से रंगा जा सकता है ताकि कोई दो सटे हुए क्षेत्र एक ही रंग न लें। 1852 में प्रतिपादित और 1976 में कंप्यूटर सत्यापन के साथ सिद्ध।
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a), जहाँ F′(x) = f(x). विश्लेषण का सबसे उपयोगी परिणाम, जो अवकलन और समाकलन को एक-दूसरे के सटीक व्युत्क्रम के रूप में जोड़ता है।
γ ≈ 0.57721566490153286060. यह हार्मोनिक श्रेणी और ln(n) के अंतर की सीमा है। 600 अरब से अधिक अंकों तक निकाला गया। यह अपरिमेय है या नहीं, अज्ञात है।
∫₋∞^∞ e^(−x²) dx = √π. घंटी-आकृति वक्र के नीचे का क्षेत्रफल ठीक √π होता है। प्रायिकता, सांख्यिकी और क्वांटम यांत्रिकी की बुनियाद।
e^π ≈ 23.14069. 1934 में पारातीत सिद्ध। हिल्बर्ट की 7वीं समस्या का समाधान। (−1)^(−i) के बराबर। e^π − π ≈ 20 का कोई ज्ञात स्पष्टीकरण नहीं।
≈ 137.507°. यह तने पर क्रमागत पत्तों के बीच का कोण है जो सबसे कुशल पैकिंग देता है। स्वर्ण अनुपात से निकला हुआ। सूरजमुखी में सर्पिल संख्याओं की व्याख्या करता है।
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … अपसारी है। यह बहुत धीरे बढ़ती है, लेकिन कभी स्थिर नहीं होती। ऑरेम का प्रमाण, γ और ln(n) से संबंध।
सभी अनंत समान नहीं होते। कैंटर ने दिखाया कि वास्तविक संख्याएँ पूर्णांकों से सख्ती से बड़ी अनंतता बनाती हैं। एलेफ-नल, कंटिन्युअम और हिल्बर्ट के होटल की व्याख्या।
वे संख्याएँ जिन्हें भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सकता। √2, π, e और φ सभी अपरिमेय हैं। 2500 वर्ष पुराना प्रमाण, और क्यों अधिकांश संख्याएँ अपरिमेय हैं।
K₀ ≈ 2.68545. लगभग हर वास्तविक संख्या के लिए उसके सतत भिन्न गुणांकों का ज्यामितीय माध्य K₀ की ओर जाता है। गणित के सबसे विचित्र सार्वभौमिक नियतांकों में से एक।
β = π²/(12 ln 2) ≈ 1.18656. लगभग हर वास्तविक संख्या के लिए nवें convergent का हर (e^β)ⁿ ≈ 3.276ⁿ की दर से बढ़ता है। परिमेय सन्निकटनों की सार्वभौमिक वृद्धि दर।
L = 0.110001000000000000000001… पहली संख्या जिसकी पारातीतता का स्पष्ट प्रमाण दिया गया, 1844 में n!वें दशमलव स्थानों पर 1 रखकर बनाई गई।
ln 2 ≈ 0.69314. सतत वृद्धि को दोगुना होने में जितना समय लगता है। यह अर्ध-आयु नियतांक है। सूचना सिद्धांत, रेडियोधर्मी क्षय और वैकल्पिक हार्मोनिक श्रेणी में प्रकट होता है।
मेजर सिस्टम हर अंक को एक व्यंजन-ध्वनि से जोड़ता है ताकि किसी भी संख्या के लिए जीवंत शब्द बनाए जा सकें। शब्द हमेशा अंग्रेज़ी में रहते हैं, चाहे साइट की भाषा कोई भी हो। इंटरैक्टिव उदाहरणों और पाई-कोडिंग के साथ समझाया गया।
M = lim(Σₚ≤ₙ 1/p − ln ln n) ≈ 0.261497. अभाज्यों के व्युत्क्रमों के योग और ln ln n के बीच का सटीक अंतर।
घड़ी का अंकगणित: 17 mod 12 = 5. RSA एन्क्रिप्शन, hash functions, error-correcting codes और फ़र्मा के लघु प्रमेय के पीछे की गणित।
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C. हर विस्तार उस समीकरण को हल करता है जिसे पिछली प्रणाली हल नहीं कर सकती थी। संख्या प्रणालियों का पूरा पदानुक्रम।
Ω ≈ 0.56714. Ωe^Ω = 1 का अद्वितीय वास्तविक हल। Lambert W फलन से परिभाषित। पारातीत और e से गहरे जुड़ा हुआ।
एक परिपूर्ण संख्या अपने सभी उचित भाजकों के योग के बराबर होती है: 6 = 1+2+3, 28 = 1+2+4+7+14। ज्ञात हर परिपूर्ण संख्या सम है। क्या कोई विषम परिपूर्ण संख्या होती है, यह अभी खुला प्रश्न है।
φ ≈ 1.61803। वह अनुपात जिसमें संपूर्ण का बड़े भाग से वही संबंध होता है जो बड़े भाग का छोटे भाग से। यह पंचभुज, फिबोनाची संख्याओं और ज्यामिति के सबसे सुंदर आयत में दिखाई देता है।
पाई किसी भी वृत्त की परिधि और व्यास का अनुपात है: 3.14159... अपरिमेय, पारातीत और अनंत। इसका इतिहास, सूत्र और अंक।
ρ ≈ 1.32471। x³ = x + 1 का वास्तविक हल। पडोवान अनुक्रम के अनुपातों की सीमा। हांस फान डर लान की वास्तुकला में प्रयुक्त। सबसे छोटी पिसोट संख्या।
π(n) ~ n/ln(n)। n तक की अभाज्य संख्याओं की संख्या लगभग n को उसके प्राकृतिक लघुगणक से भाग देने के बराबर होती है। यह बताता है कि बड़ी संख्याओं पर अभाज्य संख्याएँ कैसे विरल होती जाती हैं।
अभाज्य संख्याएँ 1 से बड़ी वे पूर्ण संख्याएँ हैं जो केवल 1 और स्वयं से विभाजित होती हैं। हर पूर्ण संख्या का एक अद्वितीय अभाज्य गुणनखंडीकरण होता है। अभाज्य संख्याएँ अनंत हैं।
a² + b² = c²। किसी भी समकोण त्रिभुज में दोनों लंबवत भुजाओं के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है। यह 1900 ईसा पूर्व से ज्ञात है। इसके 370 से अधिक प्रमाण मिल चुके हैं।
e^(π√163) ≈ 262537412640768743.999999999999। लगभग एक पूर्णांक – गणित का एक आश्चर्य।
ζ(s) = 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + ⋯ गणित का सबसे महत्वपूर्ण फलनों में से एक। इसके शून्य अभाज्य संख्याओं के वितरण को नियंत्रित करते हैं। रीमान परिकल्पना कहती है कि सभी गैर-तुच्छ शून्य Re(s)=1/2 पर होते हैं।
δₛ = 1 + √2 ≈ 2.41421। अष्टभुजों का स्वर्ण अनुपात। पेल संख्याओं के अनुपातों की सीमा। यह x² = 2x + 1 को संतुष्ट करता है और इसकी सतत भिन्न [2; 2, 2, 2, …] है।
√2 ≈ 1.41421। इकाई वर्ग का विकर्ण। पहली संख्या जिसकी अपरिमेयता का प्रमाण दिया गया था, लगभग 500 ईसा पूर्व पाइथागोरसियों द्वारा।
n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ। बड़े factorial के लिए अत्यंत सटीक सूत्र, जो π और e को एक गणना-सूत्र में जोड़ता है। n=10 पर त्रुटि 1% से कम, n=100 पर 0.1% से कम।
τ = 2π ≈ 6.28318। रेडियन में एक पूरा घूर्णन। वृत्त का वह नियतांक जिससे घूर्णन के अंश सहज हो जाते हैं: चौथाई घुमाव τ/4, आधा घुमाव τ/2।
f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(a)/n! · (x-a)ⁿ। किसी भी smooth फलन को अनंत बहुपद के रूप में लिखने की विधि। संख्यात्मक गणना की नींव। यह समझाती है कि sin, cos और eˣ इतने गहराई से क्यों जुड़े हैं।
ऐसी संख्याएँ जो पूर्णांक गुणांकों वाले किसी भी बहुपद समीकरण को संतुष्ट नहीं करतीं। π को 1882 में पारातीत सिद्ध किया गया, जिससे वृत्त-चतुर्भुजीकरण की प्राचीन समस्या असंभव साबित हुई। अधिकांश संख्याएँ पारातीत हैं, लेकिन किसी एक ठोस उदाहरण को सिद्ध करना कठिन है।
T ≈ 1.83929। ट्रिबोनाची अनुक्रम के अनुपातों की सीमा, जिसमें हर पद पिछले तीन पदों का योग होता है। यह स्वर्ण अनुपात का त्रि-पदी समकक्ष है।
C₂ ≈ 0.66016। यह 11 और 13, या 17 और 19 जैसे अभाज्य युग्मों की सघनता नियंत्रित करता है। यह गणित की एक बड़ी अनसुलझी समस्या से जुड़ा है।
π/2 = (2/1)·(2/3)·(4/3)·(4/5)·(6/5)·(6/7)⋯। केवल भिन्नों के गुणन से पाई। गणित के सबसे सुंदर और आश्चर्यजनक परिणामों में से एक, 1655 में खोजा गया।