e (ऑयलर संख्या) क्या है?
e वह अद्वितीय संख्या है जिसके लिए फलन eˣ का अवकलज वही eˣ होता है। किसी भी राशि को लें और उसे प्रति वर्ष 100% की दर से लगातार बढ़ने दें। ठीक एक वर्ष बाद आपके पास शुरुआती राशि का e गुना होगा। किसी और आधार में यह आत्म-संदर्भी गुण नहीं मिलता।
जैसे-जैसे n बढ़ता है, यह श्रेणी नीचे से e की ओर बढ़ती है और 2.71828182845904… पर अभिसरित होती है।
| n | (1 + 1/n)ⁿ | Abstand zu e |
|---|---|---|
| 1 | 2.000000 | 0.71828 |
| 10 | 2.593742 | 0.12454 |
| 100 | 2.704814 | 0.01347 |
| 1 000 | 2.716924 | 0.00136 |
| 1 000 000 | 2.718281 | 0.0000014 |
| ∞ | 2.71828… | 0 |
चक्रवृद्धि ब्याज की व्याख्या: यदि कोई बैंक 100% वार्षिक ब्याज दे लेकिन वर्ष में n बार संयोजित करे, तो आपकी राशि (1 + 1/n)ⁿ से बढ़ती है। मासिक संयोजन पर 2.613 मिलता है। हर सेकंड संयोजन पर 2.718। सतत संयोजन पर ठीक e मिलता है।
x=1 पर वक्र की ऊँचाई e ≈ 2.718 है और स्पर्शरेखा की ढाल भी e है। किसी अन्य आधार b^x में यह गुण नहीं होता।
जैकब बर्नोली ने 1683 में चक्रवृद्धि ब्याज का अध्ययन करते हुए e की खोज की। ऑयलर ने 1731 में इसे e नाम दिया। यह अपरिमेय है (Euler, 1737) और ट्रान्ससेंडेंटल है (Hermite, 1873)। इसका दशमलव विस्तार 2.71828182845904523536… कभी दोहराता नहीं।
$1 को 100% वार्षिक ब्याज पर रखें: मासिक संयोजन से $2.613, दैनिक से $2.714, हर सेकंड से $2.718 मिलता है। n→∞ होने पर सीमा ठीक e है।
e (ऑयलर संख्या) लगभग 2.71828182845904523536 है। यह वह अद्वितीय संख्या है जिसके लिए फलन e^x हर बिंदु पर अपने ही अवकलज के बराबर होता है। जैकब बर्नोली ने 1683 में चक्रवृद्धि ब्याज का अध्ययन करते हुए इसे खोजा। लेओनहार्ड ऑयलर ने लगभग 1731 में इसे e नाम दिया। e अपरिमेय (Euler, 1737) और ट्रान्ससेंडेंटल (Hermite, 1873) है। यह सतत वृद्धि और क्षय, प्राकृतिक लघुगणकों, सामान्य वितरण, चक्रवृद्धि ब्याज, रेडियोधर्मी क्षय, और ऑयलर की पहचान e^(i*pi) + 1 = 0 में दिखाई देता है।
ऑयलर संख्या e is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the टेलर श्रेणी.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
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