Cantor 在 1874 年证明，并非所有无穷都相同。自然数、整数和有理数都是可数无穷，也就是说它们可以被列出。实数则是不可数无穷，对它们不存在完整列表，这一点可由对角线论证看出。Cantor 的幂集定理还进一步说明：任何集合的幂集都严格比原集合更大，因此会产生一条无穷向上的无穷层级。连续统假设，也就是“整数与实数之间是否还有另一种无穷”的问题，后来被证明独立于通常的集合论公理系统。
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