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π Pi

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🌍 地理

记住瑞典十大城市 - 按顺序排列

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π Pi

什么是 Apéry 常数？

ζ(3) ≈ 1.20205。它是 1/n³ 的和。Roger Apéry 于 1978 年证明其为无理数。是否存在含 π 的闭式表达仍未知。
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什么是巴塞尔问题？

π²/6 ≈ 1.6449。欧拉在 1734 年证明 1+1/4+1/9+1/16+⋯ = π²/6。π 第一次出现在分数求和中，把圆周率与数论联系了起来。
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什么是 Catalan 常数？

G ≈ 0.91597。交错和 1−1/9+1/25−⋯。这是最著名的几个其无理性至今仍未被证明的常数之一。
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什么是 Champernowne 常数？

C₁₀ = 0.123456789101112...。它是超越数（Mahler，1937），并且在 10 进制下是正规数（Champernowne，1933）。它是一种包含所有有限数字串的数。
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什么是复数？

复数把实数轴扩展为一个平面。i = sqrt(-1)。每个多项式都有根。它们是量子力学、信号处理和欧拉恒等式的基础。
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什么是连分数？

x = a0 + 1/(a1 + 1/(a2+...))。这是用有理数逼近无理数最精确的方式。π = [3;7,15,1,292...], φ = [1;1,1,1,...], sqrt(2) = [1;2,2,2,...]。
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什么是康威常数？

λ ≈ 1.3035。除一个退化特例外，它是所有 look-and-say 序列的唯一增长率。John Conway 在 1986 年用“宇宙学定理”证明了这一增长率的普适性。
π Pi

什么是 de Moivre 定理？

(cosθ + i sinθ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ。de Moivre 定理把复数与三角学连接起来，使复数的 n 次根和角度几何变得可计算。
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什么是 e，欧拉数？

e ≈ 2.71828。唯一一个其增长速度始终等于自身当前数值的数。它是自然对数的底，也是连续数学的基石。
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什么是 Erdős–Borwein 常数？

E ≈ 1.6066。它是梅森数倒数的和。Paul Erdős 在 1948 年利用 2 的幂的二进制表示证明了它是无理数。
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什么是欧拉恒等式？

e^(iπ) + 1 = 0。五个基本常数汇于一个等式。欧拉于 1748 年发表。在多次评选中被选为数学中最优美的公式。
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什么是费根鲍姆常数？

δ ≈ 4.66920。描述周期翻倍如何进入混沌的普适比率。米切尔·费根鲍姆于 1975 年借助计算器发现了它。
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什么是斐波那契数？

每一项都等于前两项之和：1、1、2、3、5、8、13…… 它们的相邻比值会收敛到黄金比例，并出现在向日葵、贝壳和帕斯卡三角中。
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什么是四色定理？

任何地图都可以只用 4 种颜色着色，使任意两个相邻区域不会同色。该猜想于 1852 年提出，1976 年通过计算机验证得到证明。
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什么是微积分基本定理？

∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a)，其中 F′(x) = f(x)。这是分析学中最重要的定理，它把求导与积分联系为精确的逆运算。
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什么是欧拉-马歇罗尼常数（γ）？

γ ≈ 0.57721566490153286060。它是调和级数与 ln(n) 之差的极限。已被计算到超过 6000 亿位。它是否是无理数仍未知。
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什么是高斯积分？

∫₋∞^∞ e^(−x²) dx = √π。钟形曲线下的面积恰好等于 √π。它是概率、统计和量子力学的基础之一。
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什么是格尔丰德常数？

e^π ≈ 23.14069。它在 1934 年被证明为超越数，并解决了希尔伯特第七问题。它还等于 (−1)^(−i)。数值巧合 e^π − π ≈ 20 尚无已知解释。
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什么是黄金角？

≈ 137.507°。它是植物茎上相邻叶片之间最能实现高效排布的角度，由黄金比例导出，也解释了向日葵中的螺旋数。
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什么是调和级数？

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... 会发散，但发散得慢得离谱。要超过 100，所需项数多于 10^43。这也是通向欧拉-马歇罗尼常数和黎曼 ζ 函数的入口。
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什么是无穷？

并非所有无穷都一样大。康托尔证明，实数集合严格大于整数集合。本文解释阿列夫零、连续统与希尔伯特旅馆。
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什么是无理数？

无法写成分数的数。√2、π、e 和 φ 都是无理数。本文解释这个已有 2500 年历史的证明思路、什么使一个数成为无理数，以及为什么无理数远多于有理数。
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什么是欣钦常数？

K₀ ≈ 2.68545。对几乎每一个实数，其连分数部分商的几何平均都会收敛到 K₀。这是数学中最奇异的普适常数之一。
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什么是勒维常数？

β = π²/(12 ln 2) ≈ 1.18656。对几乎每个实数，第 n 个渐近分数的分母按 (e^β)ⁿ ≈ 3.276ⁿ 增长。这是有理逼近的普适增长率。
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什么是刘维尔常数？

L = 0.110001000000000000000001… 这是第一个被证明为超越数的数，1844 年通过在每个 n! 位上放一个 1 构造出来。
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什么是 ln 2，也就是 2 的自然对数？

ln 2 ≈ 0.69314。它是连续增长翻倍所需的时间常数，也是半衰期公式中的核心常数。它会出现在信息论、放射性衰变和交错调和级数中。
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什么是 Major 系统？

Major 系统把数字映射到辅音发音上，从而能为任意数字构造出生动的单词。无论页面语言是什么，这些单词始终保持英文。本文用交互示例和 π 编码来解释它。
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什么是迈塞尔-梅滕斯常数？

M ≈ 0.26149。它是素数倒数和与 ln(ln(n)) 之间的精确差值，可视为欧拉-马歇罗尼常数在素数上的对应物。它是否为无理数仍未知。
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什么是模运算？

时钟算术：17 mod 12 = 5。它是 RSA 加密、哈希函数、纠错码和费马小定理背后的数学基础。
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数系

N 包含在 Z 中，Z 包含在 Q 中，Q 包含在 R 中，R 又包含在 C 中。每一次扩展，都是为了解决前一个系统无法解决的方程。
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什么是欧米伽常数？

Ω ≈ 0.56714。满足 Ωe^Ω = 1 的唯一实数解。它可由 Lambert W 函数定义，是一个与 e 紧密相关的超越数。
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什么是完全数？

完全数等于其所有真因子的和：6 = 1+2+3，28 = 1+2+4+7+14。已知的所有完全数都是偶数，而是否存在奇完全数仍是未解问题。
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什么是黄金比例（φ）？

φ ≈ 1.61803。当整体与较大部分之比等于较大部分与较小部分之比时，这个比值就是 φ。它出现在五边形、斐波那契数与几何中最优雅的矩形里。
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什么是圆周率 π？

圆周率是任何圆的周长与直径之比：3.14159…… 它是无理数、超越数，小数无限不循环。这里介绍它的历史、公式与数字。
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什么是塑性常数？

ρ ≈ 1.32471。它是方程 x³ = x + 1 的实根，也是 Padovan 数列相邻项比值的极限。Hans van der Laan 曾把它用于建筑比例中；它也是最小的 Pisot 数。
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什么是素数定理？

π(n) ~ n/ln(n)。不超过 n 的素数个数大约等于 n 除以 ln(n)。它是描述素数随着数字变大而逐渐稀疏的基本定律。
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什么是素数？

素数是大于 1 且只能被 1 和自身整除的整数。每个大于 1 的整数都有唯一的素因数分解。素数有无穷多个。
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什么是勾股定理？

a² + b² = c²。在任何直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。早在公元前 1900 年它就已为人所知，如今已发现 370 多种证明。
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什么是拉马努金常数？

e^(π√163) ≈ 262537412640768743.999999999999。它几乎是一个整数，是数学中最惊人的现象之一。
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什么是黎曼ζ函数？

ζ(s) = 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + ⋯。它是数学中最重要的函数之一。它的零点支配着素数的分布，而黎曼猜想断言所有非平凡零点都位于 Re(s)=1/2 上。
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什么是白银比例？

δₛ = 1 + √2 ≈ 2.41421。它可看作正八边形里的“黄金比例”，也是 Pell 数相邻项比值的极限。它满足 x² = 2x + 1，连分数写作 [2; 2, 2, 2, …]。
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什么是 √2，2 的平方根？

√2 ≈ 1.41421。它是单位正方形的对角线，也是已知最早被证明为无理数的数之一，毕达哥拉斯学派约在公元前 500 年就发现了这一点。
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什么是斯特林近似？

n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ。这是一个对大阶乘极其精确的公式，把 π 与 e 一起带入计数问题中。n=10 时误差不到 1%，n=100 时不到 0.1%。
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什么是 τ（Tau）？

τ = 2π ≈ 6.28318。它表示弧度制中的一整圈。用 τ 来写角度时，四分之一圈就是 τ/4，半圈就是 τ/2，更直观。
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什么是泰勒级数？

f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(a)/n! · (x-a)ⁿ。它把光滑函数展开为无穷多项式，是数值计算的基础，也解释了 sin、cos 与 eˣ 为什么彼此紧密相关。
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什么是超越数？

超越数是不满足任何整系数多项式方程的数。1882 年对 π 的超越性证明终结了古老的化圆为方问题。绝大多数实数都是超越数，但要指出一个具体例子却很困难。
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什么是三波那契常数？

T ≈ 1.83929。它是三波那契数列相邻项比值的极限；在这个数列中，每一项都等于前三项之和。它可以看作黄金比例的“三项递推”版本。
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什么是孪生素数常数？

C₂ ≈ 0.66016。它刻画了像 11 和 13、17 和 19 这样的孪生素数对的密度，并与数学中一个重大的未解问题直接相关。
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什么是沃利斯乘积？

π/2 = (2/1)·(2/3)·(4/3)·(4/5)·(6/5)·(6/7)⋯ 它用分数的纯乘积给出 π，是 1655 年发现的最优美也最出人意料的结果之一。