Apa itu Bilangan Transendental?
Suatu bilangan disebut transendental jika ia bukan akar dari persamaan polinom mana pun dengan koefisien bulat. Pi tidak memenuhi persamaan seperti x^2 - 3x + 1 = 0. e pun tidak. Bilangan-bilangan ini berada di luar jangkauan aljabar. Walaupun sulit menyebutkan contohnya, bilangan transendental justru merupakan aturan, bukan pengecualian: hampir setiap bilangan real adalah transendental.
Setiap bilangan rasional adalah aljabar. Setiap bilangan aljabar adalah real. Tetapi bilangan transendental - yakni yang berada di luar cincin aljabar - jauh lebih banyak daripada semua bilangan aljabar digabungkan.
Dari konstruksi artifisial Liouville (1844) hingga teorema Gelfond - Schneider (1934), teori transendensi berkembang dari rasa ingin tahu menjadi cabang besar teori bilangan.
| BILANGAN | POLINOMIAL MINIMAL |
|---|---|
| √2 = 1,41421... | x^2 - 2 = 0 |
| φ = 1,61803... | x^2 - x - 1 = 0 |
| ∛5 = 1,70997... | x^3 - 5 = 0 |
| i = √(-1) | x^2 + 1 = 0 |
| π = 3,14159... | tidak ada polinomial |
| e = 2,71828... | tidak ada polinomial |
| e^π = 23,1406... | tidak ada polinomial |
Suatu bilangan disebut transendental jika ia tidak memenuhi persamaan polinom apa pun dengan koefisien bulat. Liouville memberikan contoh eksplisit pertama pada 1844. Hermite membuktikan bahwa e bersifat transendental pada 1873. Lindemann membuktikan bahwa pi transendental pada 1882, yang akhirnya menutup masalah kuno kuadratur lingkaran sebagai hal yang mustahil. Teorema Gelfond - Schneider (1934) menunjukkan bahwa a^b bersifat transendental ketika a aljabar dan bukan 0 atau 1, serta b aljabar dan irasional. Meskipun bilangan transendental sangat melimpah, membuktikan bilangan tertentu sebagai transendental tetap sangat sulit.
Pi
Hafalkan pi, e, dan 38 konstanta matematika dengan metode jalur numpad
Main sekarang - gratisTanpa akun. Bisa di perangkat apa saja.