Что такое трансцендентные числа?
Число называется трансцендентным, если оно не является корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами. π не удовлетворяет уравнению вида x^2 - 3x + 1 = 0. e тоже не удовлетворяет никакому такому уравнению. Эти числа лежат вне досягаемости алгебры. Их трудно явно назвать, но трансцендентные числа - правило, а не исключение. Почти любое вещественное число трансцендентно.
Каждое рациональное число алгебраично. Каждое алгебраическое число вещественно. Но трансцендентных чисел за пределами алгебраического кольца гораздо больше, чем всех алгебраических вместе.
От искусственной конструкции Лиувилля в 1844 году до теоремы Гельфонда - Шнайдера 1934 года теория трансцендентности выросла из курьёза в важную часть теории чисел.
| ЧИСЛО | МИНИМАЛЬНЫЙ МНОГОЧЛЕН |
|---|---|
| √2 = 1,41421... | x^2 - 2 = 0 |
| φ = 1,61803... | x^2 - x - 1 = 0 |
| ∛5 = 1,70997... | x^3 - 5 = 0 |
| i = √(-1) | x^2 + 1 = 0 |
| π = 3,14159... | такого многочлена не существует |
| e = 2,71828... | такого многочлена не существует |
| e^π = 23,1406... | такого многочлена не существует |
Число называется трансцендентным, если оно не удовлетворяет никакому многочлену с целыми коэффициентами. Лиувилль в 1844 году привёл первый явный пример. Эрмит в 1873 году доказал, что e трансцендентно. Линдеман в 1882 году доказал трансцендентность π и тем самым окончательно показал невозможность античной квадратуры круга. Теорема Гельфонда - Шнайдера 1934 года утверждает, что a^b трансцендентно, если a алгебраично, не равно 0 и 1, а b алгебраично и иррационально. Хотя трансцендентные числа составляют большинство, доказать трансцендентность конкретного числа по-прежнему чрезвычайно трудно.
Pi
Запоминайте пи, e и 38 математических констант методом пути по цифровой клавиатуре
Играть сейчас - бесплатноБез регистрации. Работает на любом устройстве.