Что такое теорема де Муавра?
Теорема де Муавра утверждает, что возведение точки на единичной окружности в n-ю степень просто умножает её угол на n. Если начать с угла θ и применить операцию n раз, получится угол nθ. В этом и состоит геометрическое сердце арифметики комплексных чисел.
Начинаем с угла θ=40° на единичной окружности. Возведение в квадрат удваивает угол до 80° (зелёный), возведение в куб утраивает его до 120° (красный). Точка только вращается; её расстояние от начала координат остаётся равным 1.
Теорема непосредственно следует из формулы Эйлера e^(iθ) = cosθ + i sinθ. Возводя обе части в n-ю степень, получаем (e^(iθ))ⁿ = e^(inθ) = cos(nθ) + i sin(nθ). Де Муавр сформулировал свой результат в 1707 году, то есть за 41 год до публикации формулы Эйлера, поэтому доказательство выглядит скорее как магия, чем как механика.
Шестые корни единицы образуют на единичной окружности правильный шестиугольник. Вообще n решений уравнения z^n = 1 всегда образуют правильный n-угольник с равными угловыми промежутками 2πk/n = τk/n.
Теорема де Муавра - ключевой инструмент для вычисления степеней и корней комплексных чисел, вывода формул кратных углов вроде cos 3θ = 4cos³θ - 3cosθ и нахождения n равномерно распределённых n-х корней любого комплексного числа. Она связывает алгебру комплексных чисел с геометрией вращения.
При умножении двух комплексных чисел их углы складываются, а модули перемножаются. Если оба числа лежат на единичной окружности, то есть имеют модуль 1, меняется только угол. Умножить n раз - значит сложить угол n раз. Именно это и утверждает теорема де Муавра.
Теорема де Муавра показывает, что cos(n*theta) всегда можно записать как многочлен от cos(theta). Это и есть многочлены Чебышёва T_n: T_n(cos theta) = cos(n*theta). Например, cos(2*theta) = 2*cos^2(theta) - 1, то есть T_2(x) = 2x^2 - 1. Они возникают в численном анализе, проектировании фильтров и теории аппроксимации.
Тождество Эйлера · Комплексные числа · Пифагор
Pi
Запоминайте пи, e и 38 математических констант методом пути по цифровой клавиатуре
Играть сейчас - бесплатноБез регистрации. Работает на любом устройстве.