Что такое дзета-функция Римана?
Дзета-функция Римана задаётся формулой ζ(s) = 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + ⋯ Эйлер исследовал её вещественную версию и нашёл ζ(2) = π²/6, то есть решение базельской задачи, а также произведение ζ(s) = ∏ 1/(1-p⁻ˢ) по всем простым числам. В своей знаменитой статье 1859 года Риман распространил эту функцию на комплексные числа.
| s | ζ(s) | точная форма |
|---|---|---|
| 2 | 1,64493… | π²/6 |
| 3 | 1,20206… | неизвестно, Апери |
| 4 | 1,08232… | π⁴/90 |
| 6 | 1,01734… | π⁶/945 |
| -2,-4,… | 0 | тривиальные нули |
Главная идея Римана состояла в том, чтобы рассматривать ζ(s) для комплексных значений s. Нетривиальные нули, то есть точки, где ζ(s) = 0 и 0 < Re(s) < 1, управляют распределением простых чисел. Каждый нуль вносит колебание в функцию счёта простых. В 1859 году Риман предположил, что все нетривиальные нули лежат на прямой Re(s) = 1/2. Это и есть гипотеза Римана.
Уже проверено более 10 триллионов нетривиальных нулей на прямой Re(s) = 1/2. Контрпример никогда не находили. Институт математики Клэя предлагает 1 миллион долларов за доказательство или опровержение. Доказательство дало бы наилучшую возможную оценку ошибки в распределении простых чисел. Гипотеза Римана остаётся недоказанной уже 165 лет.
Дзета-функция Римана обладает симметрией: zeta(s) = 2^s * pi^(s-1) * sin(pi*s/2) * Gamma(1-s) * zeta(1-s). Благодаря этому ζ продолжается на все комплексные s, кроме s = 1, и значение в точке s связывается со значением в 1-s. Отсюда следует, что нетривиальные нули возникают парами: если s - нуль, то и 1-s - тоже. Тривиальные нули при s = -2, -4, -6, ... происходят от множителя sin(pi*s/2).
Дзета-функция Римана задаётся рядом zeta(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + ... Эйлер вычислил её значения в чётных целых точках, например zeta(2) = pi^2/6 и zeta(4) = pi^4/90. Риман в 1859 году распространил её на комплексные значения s и предположил, что все нетривиальные нули лежат на прямой Re(s) = 1/2. Эта гипотеза Римана остаётся нерешённой уже 165 лет и входит в число задач тысячелетия с премией в 1 миллион долларов. Более 10 триллионов нулей на критической прямой уже проверены. Нули управляют распределением простых чисел: каждый из них вызывает колебание в функции счёта простых.
Pi
Запоминайте пи, e и 38 математических констант методом пути по цифровой клавиатуре
Играть сейчас - бесплатноБез регистрации. Работает на любом устройстве.