O que é a função zeta de Riemann?
A função zeta de Riemann é ζ(s) = 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + ⋯ Euler estudou a versão real e encontrou ζ(2) = π²/6 (o problema de Basileia) e a fórmula produto ζ(s) = ∏ 1/(1-p⁻ˢ) sobre todos os primos. Riemann estendeu a função aos números complexos em seu artigo histórico de 1859.
| s | ζ(s) | exakte Form |
|---|---|---|
| 2 | 1,64493… | π²/6 |
| 3 | 1,20206… | unbekannt, Apéry |
| 4 | 1,08232… | π⁴/90 |
| 6 | 1,01734… | π⁶/945 |
| -2,-4,… | 0 | triviale Nullstellen |
A grande ideia de Riemann: ao estender ζ(s) para s complexo, os zeros não triviais (onde ζ(s) = 0 com 0 < Re(s) < 1) controlam a distribuição dos números primos. Cada zero contribui com uma oscilação à função contadora de primos. Riemann conjecturou em 1859 que todos os zeros não triviais estão na reta Re(s) = 1/2. Essa é a hipótese de Riemann.
Mais de 10 trilhões de zeros não triviais já foram verificados na reta Re(s) = 1/2. Nenhum contraexemplo jamais foi encontrado. O Clay Mathematics Institute oferece 1 milhão de dólares por uma prova (ou refutação). Uma prova daria o melhor limite possível para o erro na distribuição dos primos. A hipótese de Riemann segue sem prova há 165 anos.
A função zeta de Riemann satisfaz uma simetria: zeta(s) = 2^s * pi^(s-1) * sin(pi*s/2) * Gamma(1-s) * zeta(1-s). Isso estende a zeta a todos os números complexos s (exceto s = 1) e relaciona o valor em s com o valor em 1-s. Mostra que os zeros não triviais vêm em pares: se s é zero, então 1-s também é. Os zeros triviais em s = -2, -4, -6, ... vêm do fator sin(pi*s/2).
A função zeta de Riemann é zeta(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + ... Euler a avaliou em inteiros pares: zeta(2) = pi^2/6, zeta(4) = pi^4/90. Riemann a estendeu ao plano complexo em 1859 e conjecturou que todos os zeros não triviais estão em Re(s) = 1/2. Essa hipótese de Riemann continua sem prova após 165 anos e é um Prêmio do Milênio do Clay no valor de 1 milhão de dólares. Mais de 10 trilhões de zeros já foram verificados na reta crítica. Os zeros controlam a distribuição dos primos: cada zero contribui com uma oscilação à função contadora de primos.
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