Zahlensysteme
Die Mathematik hat fünf Hauptzahlensysteme aufgebaut, von denen jedes eine Erweiterung des vorherigen ist. Jede Erweiterung wurde durch eine Gleichung motiviert, die vorher unlösbar war: „Was ist 3-5?“ erzwingt die ganzen Zahlen, „Was ist 1/3?“ die rationalen Zahlen, „Was ist √2?“ die reellen Zahlen und „Was ist √(-1)?“ die komplexen Zahlen.
| SYSTEM | GEWONNEN | VERLOREN ODER VERÄNDERT |
|---|---|---|
| N, natürliche Zahlen | Zählen, +, × | keine Subtraktion |
| Z, ganze Zahlen | Subtraktion, Negative | keine Division |
| Q, rationale Zahlen | Division, Brüche | kein √2 |
| R, reelle Zahlen | alle Grenzwerte, √2, π | kein √(-1) |
| C, komplexe Zahlen | alle Polynomnullstellen | algebraisch abgeschlossen |
| H, Quaternionen | Drehungen im 3D-Raum | ab ist nicht gleich ba |
| Jede Erweiterung ist eine echte Vergrößerung, keine bloße Umbenennung |
Blau: natürliche Zahlen ℕ. Grün fügt 0 hinzu. Violett erweitert zu den negativen ganzen Zahlen ℤ. Orange ergänzt Brüche ℚ. Rot: irrationale Zahlen füllen den Rest von ℝ.
Die Mathematik kennt fünf Hauptzahlensysteme: natürliche Zahlen N, also Zählen ohne Subtraktion; ganze Zahlen Z, die Subtraktion und negative Zahlen hinzufügen; rationale Zahlen Q, die Division ergänzen; reelle Zahlen R, die Grenzwerte und irrationale Zahlen enthalten; und komplexe Zahlen C, die √(-1) hinzufügen. Jede Erweiterung löste eine Gleichung, die im vorherigen System keine Lösung besaß. Die komplexen Zahlen sind algebraisch abgeschlossen, also hat jede Polynomgleichung in C eine Lösung. Die Inklusion ist echt: N liegt in Z, Z in Q, Q in R und R in C, wobei die transzendenten Zahlen den äußeren Ring von R füllen.
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