Christoffer De Geer 21. März 2026

Modulare Arithmetik

17 ≡ 5 (mod 12)

17 und 5 lassen bei Division durch 12 denselben Rest.

Modulare Arithmetik ist Arithmetik auf einem Kreis. Zwei Zahlen sind modulo n kongruent, wenn sie sich um ein Vielfaches von n unterscheiden. Eine Uhr rechnet modulo 12: Zehn Stunden nach 5 Uhr ist 3 Uhr und nicht 15 Uhr. Diese einfache Idee liegt der modernen Kryptographie, Hashfunktionen, Fehlerkorrekturcodes und großen Teilen der Zahlentheorie zugrunde.

Die Uhr modulo 12: Addition läuft im Kreis

Überprüfung des kleinen Satzes von Fermat

a^(p−1) ≡ 1 (mod p)  when p is prime, p∤a

Example p=5, a=2: 2⁴ = 16 = 3×5 + 1 ≡ 1 (mod 5) ✓

Example p=7, a=3: 3⁶ = 729 = 104×7 + 1 ≡ 1 (mod 7) ✓

Used in RSA encryption to prove decryption recovers the original message.

Additionstabelle für ℤ/5ℤ, also die ganzen Zahlen mod 5

Jede Zeile und jede Spalte enthält {0,1,2,3,4} genau einmal. Die fünf Elemente bilden unter Addition modulo 5 eine abgeschlossene Gruppe. Rot markiert sind Summen, die über 4 hinausgehen und umklappen.
+	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	0
2	2	3	4	0	1
3	3	4	0	1	2
4	4	0	1	2	3

Primzahlen → Zahlensysteme → Vollkommene Zahlen → Vierfarbensatz →

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Kurzfakten zur modularen Arithmetik

Modulare Arithmetik definiert Kongruenz: a ist kongruent zu b modulo n, wenn n die Differenz a-b teilt. Gauss systematisierte dieses Gebiet 1801. Sie bildet die Grundlage aller modernen Public-Key-Verfahren. RSA-Verschlüsselung beruht auf dem kleinen Satz von Fermat, der besagt, dass a^(p-1) kongruent zu 1 modulo p ist, sofern p prim ist und a nicht durch p teilbar ist. Hashfunktionen nutzen modulare Operationen, um große Eingaben auf feste Ausgaben abzubilden. Die ganzen Zahlen modulo n bilden einen vollständigen Ring, und falls n prim ist, sogar einen endlichen Körper.

Verwendet in

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