Vad är primtalssatsen?
Beteckna med π(n) antalet primtal upp till n. Primtalssatsen säger att π(n) växer ungefär som n/ln(n). När n blir större är ungefär 1 av varje ln(n) tal nära n ett primtal. Nära en miljon är ungefär 1 av 14 tal ett primtal. Nära en miljard, 1 av 21.
π(n) raknar primtal upp till n (bla trappsteg). Primtalssatsen sager att π(n) ~ n/ln(n) – kvoten → 1 nar n → ∞.
Gauss antog resultatet runt 1800 efter studier av primtalstabeller. Det bevisades självständigt 1896 av Jacques Hadamard och Charles-Jean de la Vallée Poussin, båda med Riemanns zetafunktion och komplex analys. Ett rent elementärt bevis (utan komplex analys) hittades självständigt av Selberg och Erdős 1948.
| Up to n | Primes π(n) | Density ≈ 1/ln(n) |
|---|---|---|
| 1 000 | 168 | 1 in 7 |
| 1 000 000 | 78 498 | 1 in 14 |
| 10⁹ | 50 847 534 | 1 in 21 |
| 10¹² | 37 607 912 018 | 1 in 28 |
Riemann-hypotesen skulle ge den skarpaste gränsen för felet: |π(n) - Li(n)| ≤ √n · ln(n) / (8π). Utan den vet vi bara att felet är o(n/ln(n)). Det är därför Riemann-hypotesen är matematikens viktigaste öppna problem: den skulle berätta exakt hur förutsägbara primtalsgap är.
En mer exakt approximation av pi(n) än n/ln(n) är den logaritmiska integralen Li(n) = integralen från 2 till n av dt/ln(t). Gauss föredrog denna form. För n = 1 000 000: n/ln(n) ger 72 382 medan Li(n) ger 78 628, jämfört med exakta antalet 78 498. Felet hos Li(n) är mycket mindre. Riemann-hypotesen skulle begränsa detta fel precis vid sqrt(n) * ln(n).
Pi
Memorera pi, e och 38 matematiska konstanter med metoden för numerisk knappsats
Spela nu - det är gratisInget konto behövs. Fungerar på alla enheter.
