A Série Harmónica
A série harmónica é a soma de todas as frações unitárias. Cada termo 1/n tende para zero, o que pode sugerir que a soma converge, mas não converge. A prova usa agrupamentos: 1/3+1/4 > 1/2, depois 1/5+1/6+1/7+1/8 > 1/2, e cada grupo desses acrescenta pelo menos 1/2, por isso o total ultrapassa qualquer limite. Ainda assim, diverge com lentidão extraordinária: para atingir uma soma parcial de 100 são necessários mais termos do que átomos no universo observável.
H(n) e ln(n) crescem juntos, diferindo sempre aproximadamente por γ ≈ 0,5772. Ambos divergem: para atingir H(n) = 100 são necessários cerca de 10^43 termos.
São necessários ~10^43 termos para atingir H(n)=100. Mais do que os átomos no universo observável.
A série harmónica 1 + 1/2 + 1/3 + ... diverge, como provou Nicole Oresme por volta de 1350. Apesar de cada termo tender para zero, a soma ultrapassa qualquer limite. As somas parciais crescem como ln(n) + gamma, onde gamma ≈ 0,5772 é a constante de Euler-Mascheroni. Depois de um milhão de termos a soma é apenas cerca de 14. Para chegar a 100 são necessários mais de 10^43 termos. A série alternada 1 - 1/2 + 1/3 - ... converge para ln 2.
Pi
Memorize pi, e e 38 constantes matemáticas com o método do teclado numérico
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