लेवी नियतांक क्या है?
हर वास्तविक संख्या के सर्वोत्तम परिमेय सन्निकटन होते हैं: ऐसे भिन्न p/q जो x के सबसे निकट हों, और जिनसे छोटे हर वाली कोई भिन्न उससे बेहतर न हो। इनके हर q₁, q₂, q₃, … बढ़ते जाते हैं, लेकिन किस दर से? पॉल लेवी ने 1935 में सिद्ध किया कि लगभग हर वास्तविक संख्या के लिए qₙ^(1/n), e^β ≈ 3.27582 पर अभिसरित होता है, जहाँ β = π²/(12 ln 2) है।
For almost all real numbers, ln(qₙ) grows linearly at slope β ≈ 1.1865. The denominators of π's convergents (1,7,106,113,33102…) grow faster on average due to the anomalous partial quotient 292.
स्वर्ण अनुपात φ = [1;1,1,1,…] के हर फिबोनाची संख्याएँ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … होते हैं, जो प्रति कदम φ ≈ 1.618 की दर से बढ़ते हैं। यह e^β ≈ 3.276 से बहुत धीमा है, इसलिए φ को "सबसे अधिक अपरिमेय" संख्या कहा जाता है: उसके सन्निकटन सबसे धीमी गति से बेहतर होते हैं। अधिकांश संख्याओं के हर इससे कहीं तेज़, e^β की दर से बढ़ते हैं।
| φ = [1;1,1,1,…] | Typische Zahl |
|---|---|
| qₙ wächst wie φⁿ ≈ 1,618ⁿ | qₙ wächst wie (e^β)ⁿ ≈ 3,276ⁿ |
| Langsamstmögliches Wachstum | Lévys Satz |
β = π²/(12 ln 2) का मान गाउस–कुज़्मिन वितरण के समाकलन से निकलता है। ln 2 का आना आधार 2 (बाइनरी) से जुड़ा है, और π² उन्हीं स्रोतों से आता है जिनसे ζ(2) = π²/6 मिलता है। लेवी नियतांक: 1.1865691104156254… और e^β = 3.275822918721811159787681882…
| n | Teilnenner aₙ | Konvergente pₙ/qₙ | Nenner qₙ | ln(qₙ)/n |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 3/1 | 1 | 0,00 |
| 2 | 7 | 22/7 | 7 | 0,97 |
| 3 | 15 | 333/106 | 106 | 1,55 |
| 4 | 1 | 355/113 | 113 | 1,19 |
| 5 | 292 | 103993/33102 | 33102 | 2,52 |
| 6 | 1 | 104348/33215 | 33215 | 1,74 |
| 7 | 1 | 208341/66317 | 66317 | 1,54 |
लेवी नियतांक beta = pi^2/(12 ln 2) ≈ 1.18657 है। लगभग हर वास्तविक संख्या के लिए nवें convergent का हर qn ऐसा होता है कि qn^(1/n), e^beta ≈ 3.27582 की ओर जाता है। इसे पॉल लेवी ने 1935 में सिद्ध किया। स्वर्ण अनुपात, जिसके हर फिबोनाची दर φ ≈ 1.618 से बढ़ते हैं, औसत से बहुत नीचे है, और इसी से पुष्टि होती है कि उसका सन्निकटन सबसे कठिन है। यह सूत्र pi और ln 2 को एक साथ जोड़ता है, और वृत्त-geometry को logarithms से गाउस–कुज़्मिन वितरण के माध्यम से जोड़ता है।
Pi
नमपैड-पथ विधि से पाई, e और 38 गणितीय अचरों को कंठस्थ कीजिए
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