गाउसियन समाकल क्या है?
फलन e^(−x²) वही घंटी-आकृति वक्र है: x = 0 पर इसका मान 1 होता है और दोनों दिशाओं में यह सममित रूप से 0 की ओर घटता जाता है। पूरी वास्तविक रेखा पर इसके नीचे का क्षेत्रफल ठीक √π ≈ 1.7724 होता है। यह चकित करने वाली बात है: e और π, जो आम तौर पर अलग-अलग संदर्भों में मिलते हैं, यहाँ प्रायिकता सिद्धांत के सबसे सरल समाकल में एक साथ आ जाते हैं।
The integral of e^(−x²) over all x equals √π ≈ 1.7725. This is the Gaussian integral. Its square root divided by √(2π) gives the standard normal distribution curve.
इसका प्रमाण गणित की सबसे सुंदर तरकीबों में से एक है। मान लें I = ∫e^(−x²)dx. अब I² को x और y पर द्वि-समाकल लिखकर निकालें, फिर ध्रुवीय निर्देशांकों r, θ में बदल दें। तब समाकलनफल e^(−r²) बन जाता है और क्षेत्र-तत्व r·dr·dθ हो जाता है। यही r समाकल को सरल बनाता है: ∫₀^∞ re^(−r²)dr = 1/2. इसे ∫₀^(2π) dθ = 2π से गुणा करने पर I² = π मिलता है, इसलिए I = √π.
नॉर्मल वितरण, केंद्रीय सीमा प्रमेय, क्वांटम तरंग-फलन (जो गाउसियन वेव पैकेट का उपयोग करते हैं) और फैक्टोरियल के लिए स्टर्लिंग का सन्निकटन–सब इसी एक समाकल पर टिके हैं। जहाँ कहीं e^(−x²) का समाकल आता है, वहाँ √π प्रकट होता है, और सतत प्रायिकता में यह लगभग हर जगह दिखाई देता है।
गाउसियन समाकल, अर्थात −∞ से +∞ तक e^(-x^2) dx का समाकल, sqrt(pi) के बराबर होता है। सुंदर प्रमाण में पहले समाकल का वर्ग लिया जाता है, फिर उसे ध्रुवीय निर्देशांकों में बदलकर ठीक-ठीक निकाला जाता है। यही गणना नॉर्मल वितरण के पीछे की कुंजी है: प्रायिकता घनत्व (1/sqrt(2*pi))*e^(-x^2/2) का समाकल 1 होता है। गाउसियन फलन क्वांटम यांत्रिकी, ऊष्मा प्रसार, स्टर्लिंग के सन्निकटन और केंद्रीय सीमा प्रमेय में दिखाई देता है।
Pi
नमपैड-पथ विधि से पाई, e और 38 गणितीय अचरों को कंठस्थ कीजिए
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