Christoffer De Geer 20 de março de 2026

O que é o Integral Gaussiano?

A função e^(−x²) é a curva em sino: atinge 1 em x = 0 e cai simetricamente para 0 em ambas as direções. A área sob ela em toda a reta real é exatamente √π ≈ 1,7724. Isto é notável: e e π, normalmente encontrados em contextos separados, unem-se no integral mais simples da teoria da probabilidade.

A demonstração é um dos truques mais elegantes da matemática. Seja I = ∫e^(−x²)dx. Calcula-se I² escrevendo-o como um integral duplo em x e y, e depois passa-se para coordenadas polares r, θ. O integrando torna-se e^(−r²) e o elemento de área torna-se r·dr·dθ. O fator r torna o integral elementar: ∫₀^∞ re^(−r²)dr = 1/2. Multiplicando por ∫₀^(2π) dθ = 2π obtém-se I² = π, logo I = √π.

A distribuição normal, o teorema central do limite, as funções de onda quânticas (que usam pacotes de onda gaussianos) e a aproximação de Stirling para fatoriais assentam todos neste único integral. O valor √π aparece sempre que se integra e^(−x²), o que acontece praticamente em toda a probabilidade contínua.