什么是 Catalan 常数？
交错和 1 − 1/9 + 1/25 − … 收敛到 G
G = 1 − 1/9 + 1/25 − 1/49 + … = Σ (−1)ⁿ/(2n+1)²。这个交错级数收敛很慢。G 是否是无理数仍未知。
Catalan 常数的三种等价形式
G = Σₙ₌₀^∞ (−1)ⁿ/(2n+1)² ≈ 0.91597…
G = ∫₀¹ arctan(t)/t dt = ∫₀^(π/2) ln(1/sin t)/2 · dt
这三种表达式是相等的。G 出现在组合数学、物理和分析中。
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Catalan 常数速览
Catalan 常数 G = 1 - 1/9 + 1/25 - 1/49 + ... = 0.91596559...。它是否为无理数，是数学中的一个重大开放问题。它出现在组合数学、某些积分的计算以及狄利克雷β函数在 2 处的取值中。Eugène Catalan 在 1865 年研究了它。它已经被计算到超过 6000 亿位小数。
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