चार-रंग प्रमेय कहता है कि समतल पर बनाए गए किसी भी मानचित्र को अधिकतम चार रंगों से इस प्रकार रंगा जा सकता है कि साझा सीमा रखने वाले दो क्षेत्र एक ही रंग न लें। जो क्षेत्र केवल एक बिंदु पर छूते हैं, वे एक ही रंग ले सकते हैं। यह प्रमेय किसी भी जटिल मानचित्र पर लागू होता है।
क्षेत्र 1, 2, 3, 4 कई अन्य क्षेत्रों से सटे हैं। बाएँ (4) और दाएँ (4) क्षेत्र साझा सीमा नहीं रखते, इसलिए वे एक ही रंग ले सकते हैं। यहाँ वास्तव में ठीक 4 रंग चाहिए।
फ्रांसिस गुथ्री ने 1852 में अंग्रेज़ी काउंटियों के मानचित्र को रंगते समय यह अनुमान लगाया। उन्होंने देखा कि चार रंग हमेशा पर्याप्त लगते हैं, पर वे इसे सिद्ध नहीं कर सके। 124 वर्षों तक यह समस्या गणितज्ञों को उलझाती रही। कई झूठे प्रमाण प्रकाशित हुए और बाद में खंडित किए गए। पाँच रंग हमेशा पर्याप्त होते हैं, और इसे हाथ से ऑयलर के planar graph सूत्र के सहारे सिद्ध किया जा सकता है।
चार-रंग प्रमेय को अनुमान से प्रमाण तक पहुँचने में 124 वर्ष लगे। 1976 का प्रमाण कंप्यूटर द्वारा सत्यापित पहला बड़ा प्रमेय था।
1976 में केनेथ ऐपल और वोल्फगैंग हैकेन का प्रमाण कंप्यूटर द्वारा सिद्ध किया गया पहला बड़ा प्रमेय था। उन्होंने सभी संभावित मानचित्रों को 1,936 configurations तक घटाया और कंप्यूटर से प्रत्येक की जाँच 1,200 CPU-घंटों तक कराई। कई गणितज्ञ ऐसे प्रमाण से असहज थे जिसे हाथ से जाँचा नहीं जा सकता था। यदि कोई पूर्णतः मानवीय-पठनीय प्रमाण मौजूद है, तो वह अभी तक नहीं मिला।
बाहरी पाँच क्षेत्र (एक विषम संख्या) वलय को 3 रंग लेने पर मजबूर करते हैं: 5-चक्र को 2 रंगों से नहीं रंगा जा सकता। केंद्र क्षेत्र उन पाँचों से सटा है, इसलिए वलय के तीनों रंगों को छूता है और उसे चौथा रंग चाहिए। इससे पता चलता है कि चार रंग वास्तव में कभी-कभी आवश्यक हैं।
समतल पर बनाया गया हर मानचित्र अधिकतम चार रंगों से रंगा जा सकता है ताकि साझा सीमा रखने वाले कोई दो क्षेत्र एक ही रंग न लें। 1852 में फ्रांसिस गुथ्री ने इसका अनुमान लगाया। 1976 में ऐपल और हैकेन ने 1,936 configurations की कंप्यूटर-जाँच के सहारे इसे सिद्ध किया, जिससे यह कंप्यूटर-सहायता से सिद्ध पहला बड़ा प्रमेय बना। 1997 में Robertson, Sanders, Seymour और Thomas ने इसे 633 configurations तक घटाया। यह प्रमेय torus पर लागू नहीं होता, जहाँ सात रंगों की आवश्यकता पड़ सकती है।
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