A 1 appears at positions 1, 2, 6, 24, 120, 720... (the factorials). All other positions are 0. The gaps grow exponentially: after position 24 the next 1 is at position 120.
Each breakthrough opened a new tool for proving numbers transcendental. Lindemann proved π is transcendental in 1882, ending the squaring-the-circle problem.
लिउविल नियतांक L = 0.110001000000000000000001... में 1!, 2!, 3!, 4!, ... स्थानों पर 1 होते हैं और बाकी सब जगह 0। जोज़ेफ़ लिउविल ने इसे 1844 में पहली स्पष्ट पारातीत संख्या के रूप में बनाया, जो हर्माइट द्वारा e को पारातीत सिद्ध किए जाने से 29 वर्ष पहले की बात है। उनके प्रमाण ने दिखाया कि बीजीय संख्याओं को परिमेय संख्याओं से अत्यधिक सटीकता से सन्निकट नहीं किया जा सकता; L में बहुत तेजी से दूर-दूर रखे गए 1 इस सीमा का उल्लंघन करते हैं। इस निर्माण ने यह भी सुंदर ढंग से दिखाया कि पारातीत संख्याएँ अस्तित्व में हैं–वह भी कैंटर के बाद के विकर्ण तर्क से पहले।
Memorize pi, e, and 40+ mathematical constants using the numpad path method
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