Was ist die Tribonacci-Konstante?
Aufeinanderfolgende Tribonacci-Quotienten konvergieren gegen T ≈ 1,839, markiert durch die rote Linie. Die Folge überschießt zunächst und schwingt sich ein. Der goldene Schnitt φ ≈ 1,618 entsteht auf dieselbe Weise aus der Fibonacci-Folge.
Jede Zeile summiert mehr vorherige Terme. Der Grenzwert der Quotienten steigt an: φ≈1,618 für zwei Terme, T≈1,839 für drei Terme, ungefähr 1,928 für vier Terme. Für n→∞ nähert sich die Wachstumsrate 2, weil bei unendlich vielen vorherigen Termen jedes neue Glied ungefähr die Summe aller bisherigen ist und das Gesamtgewicht bei jedem Schritt etwa halbiert wird.
| Folge | Regel | Terme | Grenzwert |
|---|---|---|---|
| Fibonacci | Summe von 2 | 1,1,2,3,5,8,13,21... | φ≈1,618 |
| Tribonacci | Summe von 3 | 1,1,2,4,7,13,24... | T≈1,839 |
| Tetranacci | Summe von 4 | 1,1,2,4,8,15,29... | ≈1,928 |
| Pentanacci | Summe von 5 | 1,1,2,4,8,16,31... | ≈1,966 |
| n-nacci | Summe von n | ... | → 2 |
| Je mehr Terme summiert werden, desto näher rückt die Wachstumsrate an 2. |
Die Tribonacci-Folge 0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44... erfüllt T(n) = T(n-1) + T(n-2) + T(n-3). Die Quotienten benachbarter Glieder konvergieren gegen T ≈ 1,83929, die reelle Lösung von x^3 = x^2 + x + 1. Das ist das Dreiglied-Analogon des goldenen Schnitts. φ erfüllt x^2 = x + 1 für die Zweiglied-Folge, T die entsprechende kubische Gleichung für drei Glieder. Das n-nacci-Konzept verallgemeinert dies auf beliebig viele Rückgriffe. Die Tribonacci-Konstante ist algebraisch und von Grad 3.
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