गेल्फ़ॉन्ड नियतांक क्या है?
गेल्फ़ॉन्ड नियतांक e की π घात है। इसका मान लगभग 23.14069263277927… है। इसे पारातीत सिद्ध करना हिल्बर्ट की 7वीं समस्या थी, जिसे उन्होंने 1900 में 20वीं सदी की 23 सबसे महत्वपूर्ण अनसुलझी समस्याओं में रखा था। अलेक्ज़ांडर गेल्फ़ॉन्ड ने इसे 1934 में हल किया।
e^π sits tantalizingly close to 23 but misses by 0.14. The coincidence e^π - π ≈ 19.999 is even closer but equally meaningless.
गेल्फ़ॉन्ड–श्नाइडर प्रमेय (1934) कहता है: यदि a बीजीय हो, 0 या 1 न हो, और b बीजीय तथा अपरिमेय हो, तो a^b पारातीत होगा। गेल्फ़ॉन्ड नियतांक के लिए e^π = (e^(iπ))^(−i) = (−1)^(−i) मिलता है। यहाँ a = −1 बीजीय है और b = −i बीजीय तथा अपरिमेय है। इसलिए प्रमेय सीधे लागू हो जाता है।
| Ausdruck | a | b | Ergebnis |
|---|---|---|---|
| e^π = (-1)^(-i) | -1 | -i | transzendent |
| 2^√2 (Hilbert) | 2 | √2 | transzendent |
| √2^√2 | √2 | √2 | transzendent |
संख्यात्मक निकटता e^π − π ≈ 19.9990999 का कोई ज्ञात गणितीय स्पष्टीकरण नहीं है। शायद यह केवल संयोग हो, लेकिन ऐसी कुछ और संयोगपूर्ण संख्याएँ–जैसे रामानुजन नियतांक–कभी-कभी गहरे कारणों से भी निकलती हैं। e^π को लाखों दशमलव स्थानों तक निकाला जा चुका है: 23.14069263277926900572908636794854738…
e^π > π^e. This can be proved without a calculator: the function x^(1/x) has a maximum at x=e, so e^(1/e) > π^(1/π), which gives e^π > π^e.
गेल्फ़ॉन्ड नियतांक e^pi ≈ 23.14069 है। इसे पारातीत सिद्ध करना हिल्बर्ट की 7वीं समस्या (1900) था। गेल्फ़ॉन्ड ने 1934 में इसे हल किया: यदि a बीजीय हो (0 या 1 न हो) और b बीजीय तथा अपरिमेय हो, तो a^b पारातीत होता है। क्योंकि e^pi = (-1)^(-i) है, और -1 तथा -i बीजीय हैं जबकि -i अपरिमेय है, इसलिए प्रमेय यहाँ लागू होता है। e^pi - pi ≈ 19.999 की निकटता का कोई ज्ञात गणितीय कारण नहीं है।
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
अभी खेलें - यह मुफ़्त हैकिसी खाते की ज़रूरत नहीं। किसी भी डिवाइस पर काम करता है।
