Christoffer De Geer 20 марта 2026 г.

Что такое гауссов интеграл?

Функция e^(−x²) - это колоколообразная кривая: она достигает максимума 1 при x = 0 и симметрично убывает к 0 в обе стороны. Площадь под ней на всей вещественной оси равна точно √π ≈ 1,7724. Это поразительно: e и π, которые обычно появляются в разных контекстах, встречаются вместе в самом простом интеграле теории вероятностей.

Доказательство - один из самых элегантных трюков в математике. Пусть I = ∫e^(−x²)dx. Тогда вычисляют I², записывая его как двойной интеграл по x и y, а затем переходят к полярным координатам r, θ. Подынтегральная функция становится e^(−r²), а элемент площади - r·dr·dθ. Именно этот множитель r делает интеграл элементарным: ∫₀^∞ re^(−r²)dr = 1/2. Умножая на ∫₀^(2π) dθ = 2π, получаем I² = π, а значит I = √π.

Нормальное распределение, центральная предельная теорема, квантовомеханические волновые функции с гауссовыми пакетами и формула Стирлинга для факториалов - всё это опирается на этот один интеграл. Значение √π появляется везде, где интегрируют e^(−x²), то есть в удивительно многих местах непрерывной теории вероятностей.