Christoffer De Geer 2026年3月20日

ガウス積分とは？

∫₋∞^∞ e^(−x²) dx = √π

√π ≈ 1.7724538509。証明には 2 次元での極座標変換を用いる。

関数 e^(−x²) は釣鐘曲線であり、x = 0 で 1 に達し、左右対称に 0 へ落ちていく。この曲線の下面積を実数全体で積分すると、正確に √π ≈ 1.7724 になる。ふつう別々に現れる e と π が、ここでは 1 つの積分の中で結びつく。

釣鐘曲線 e^(−x²)：面積は √π

e^(−x²) を全実数で積分すると √π ≈ 1.7725 になる。これがガウス積分である。これを √(2π) で割ると標準正規分布が得られる。

証明は数学でもっとも美しい技巧の一つである。I = ∫e^(−x²)dx とおき、I² を x と y に関する二重積分として書く。そこから極座標 r, θ に変換すると、被積分関数は e^(−r²)、面積要素は r·dr·dθ になる。角度の積分で π が生まれ、半径方向の積分は 1/2 になり、最終的に I² = π、したがって I = √π が得られる。

正規分布の公式

f(x) = (1/σ√(2π)) · e^(−(x−μ)²/2σ²)

σ = 標準偏差、 μ = 平均

1/√(2π) という正規化因子は、ガウス積分 ∫e^(−x²)dx = √π から直接現れる。

正規分布、中心極限定理、量子力学のガウス波束、階乗のスターリング近似などは、すべてこの積分に支えられている。e^(−x²) を積分する場面では、ほとんど必ず √π が現れる。

π（円周率）オイラー数 e スターリング近似ウォリス積微積分学の基本定理

二乗するトリック：∫e^(−x²)dx = √π

I² = ∫∫ e^(−x²−y²) dx dy = ∫₀^∞ e^(−r²) 2πr dr = π

第1段階：I を二乗して平面上の二重積分にする

第2段階：極座標 (r, θ) に変換する - θ の積分が 2π を与える

第3段階：u = r² と置換する - r の積分は 1/2。したがって I² = π、ゆえに I = √π。

Pi

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