Christoffer De Geer 21 марта 2026 г.

Модульная арифметика

17 ≡ 5 (mod 12)

17 и 5 дают один и тот же остаток при делении на 12.

Модульная арифметика - это арифметика на круге. Два числа сравнимы по модулю n, если они отличаются на кратное n. Часы работают по модулю 12: десять часов после 5 часов - это 3 часа, а не 15. Именно поэтому модульную арифметику часто называют арифметикой часов.

Часы по модулю 12: сложение идёт по кругу

Проверка малой теоремы Ферма

a^(p−1) ≡ 1 (mod p) when p is prime, p∤a

Example p=5, a=2: 2⁴ = 16 = 3×5 + 1 ≡ 1 (mod 5) ✓

Example p=7, a=3: 3⁶ = 729 = 104×7 + 1 ≡ 1 (mod 7) ✓

Used in RSA encryption to prove decryption recovers the original message.

Таблица сложения для ℤ/5ℤ, то есть целых чисел по модулю 5

Каждая строка и каждый столбец содержат {0,1,2,3,4} ровно по одному разу. Пять элементов образуют замкнутую группу относительно сложения по модулю 5. Красным отмечены суммы, которые превышают 4 и «переворачиваются» обратно.
+	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	0
2	2	3	4	0	1
3	3	4	0	1	2
4	4	0	1	2	3

Простые числа Числовые системы Совершенные числа Теорема о четырёх красках

Связанные темы

Простые числа Числовые системы Совершенные числа

Краткие факты о модульной арифметике

Модульная арифметика определяет сравнимость: a сравнимо с b по модулю n, если n делит разность a-b. Гаусс систематизировал эту теорию в 1801 году в книге Disquisitiones Arithmeticae. По модулю простого числа p выполняется малая теорема Ферма: a^(p-1) ≡ 1 (mod p), если p не делит a. Модульная арифметика лежит в основе RSA-шифрования, циклических кодов, хеш-функций и генераторов псевдослучайных чисел.

Применяется в

∑Математика

✓

⚛Физика

⚙Инженерия

🧬Биология

💻Информатика

✓

📊Статистика

📈Финансы

🎨Искусство

🏛Архитектура

♪Музыка

✓

🔐Криптография

✓

🌌Астрономия

⚗Химия

🦉Философия

🗺География

🌿Экология

Хотите проверить свои знания?

Вопрос

Каковы применения модульной арифметики?

нажмите · пробел

1 / 10

Готовы играть?

Pi

Запоминайте пи, e и 38 математических констант методом пути по цифровой клавиатуре

Играть сейчас - бесплатно

Без регистрации. Работает на любом устройстве.

Topic roundups

#memory All memory games Hold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure. #numbers All numbers games Arithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds. #sequence All sequence games Reproduce or extend an ordered string of items in the right order.