Maîtriser La Tour de Hanoï
En résumé : La Tour de Hanoï est résolue par une seule règle récursive : pour déplacer n disques vers la tige cible, déplacez d’abord n-1 disques vers la tige du milieu, puis déplacez le plus grand disque vers la cible, puis déplacez n-1 disques par-dessus. Appliquez cette règle à chaque niveau et vous atteignez toujours le nombre minimum de mouvements. Le minimum est toujours un de moins qu’une puissance de deux : 3 disques nécessitent 7 mouvements, 4 disques 15, 5 disques 31, 6 disques 63, 7 disques 127.
Ce qu’est le jeu
La Tour de Hanoï commence avec une pile de disques sur la tige la plus à gauche, le plus grand en bas, le plus petit en haut. Votre but : déplacer toute la pile vers la tige la plus à droite, en respectant deux règles. Déplacez un disque à la fois. Ne placez jamais un disque plus grand par-dessus un plus petit.
C’est tout. Pas de minuteries, pas de hasard, pas d’information cachée. Juste de la logique et un budget de mouvements.
PlayMemorize est mis à l’échelle de 3 à 7 disques. Le budget de mouvements commence au-dessus du minimum optimal pour que les débutants puissent encore gagner en apprenant le motif ; à mesure que votre niveau monte, le budget se resserre vers le minimum mathématique.
Les nombres minimaux de mouvements : 3 disques = 7 mouvements, 4 disques = 15 mouvements, 5 disques = 31 mouvements, 6 disques = 63 mouvements, 7 disques = 127 mouvements. Chaque niveau nécessite environ deux fois les mouvements du niveau en dessous, plus un. Si vous dépassez le budget de mouvements, la manche se termine comme une perte.
L’algorithme récursif
Tout dans La Tour de Hanoï suit un motif, appliqué répétitivement à chaque échelle :
Pour déplacer n disques de la tige A vers la tige C, en utilisant la tige B comme stockage temporaire :
- Déplacez n-1 disques de A vers B (en utilisant C comme temporaire)
- Déplacez le plus grand disque de A vers C
- Déplacez n-1 disques de B vers C (en utilisant A comme temporaire)
C’est l’algorithme complet. À chaque niveau du puzzle, vous exécutez la même structure en trois étapes. La beauté est que les étapes 1 et 3 sont elles-mêmes des instances plus petites du même problème, résolues par la même règle.
Traçons 3 disques pour rendre cela concret. Objectif : déplacer les trois de la tige 1 vers la tige 3.
- Étape 1 (déplacer 2 disques de la tige 1 vers la tige 2) : déplacer le disque 1 vers la tige 3, déplacer le disque 2 vers la tige 2, déplacer le disque 1 vers la tige 2.
- Étape 2 (déplacer le disque 3 de la tige 1 vers la tige 3) : un mouvement.
- Étape 3 (déplacer 2 disques de la tige 2 vers la tige 3) : déplacer le disque 1 vers la tige 1, déplacer le disque 2 vers la tige 3, déplacer le disque 1 vers la tige 3.
Total : 7 mouvements. Optimal.
Réflexion en trois phases. Avant de toucher un disque, nommez les trois phases à voix haute : “Dégager n-1 disques vers le milieu ; déplacer le plus grand vers la cible ; reconstruire n-1 disques par-dessus.” À chaque niveau de récursion, vous répétez la même structure avec un disque de moins. Vous ne mémorisez pas une séquence de mouvements - vous exécutez un motif fractal.
Conseil : Avant tout mouvement, demandez-vous : “Quel est le plus grand disque que je dois déplacer en ce moment ?” Tout ce que vous faites jusqu’à déplacer ce disque est de la préparation. Maintenir ce cadre évite les mouvements sans but et vous garde sur le chemin optimal.
Pourquoi le nombre de mouvements est fixe
Le nombre minimum de mouvements découle directement de l’algorithme. Résoudre n disques nécessite de résoudre n-1 disques deux fois (étapes 1 et 3) plus un mouvement du plus grand disque (étape 2). Donc le total T(n) = 2 fois T(n-1) plus 1. Avec T(1) = 1, cela donne : 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127 pour des comptes de disques de 1 à 7.
Chaque nombre est un de moins qu’une puissance de deux. Trois disques : 8 moins 1 = 7. Quatre disques : 16 moins 1 = 15. Cinq disques : 32 moins 1 = 31. Six disques : 64 moins 1 = 63. Sept disques : 128 moins 1 = 127.
Ce n’est pas une coïncidence - c’est la conséquence directe de résoudre n-1 disques deux fois chaque fois que vous résolvez n disques. Une fois que vous comprenez cela, vous cessez de voir Hanoï comme un puzzle à résoudre par essais et erreurs et vous commencez à le voir comme un algorithme à exécuter.
Tactiques par niveau de difficulté
3 à 4 disques (apprentissage) : À ce niveau, le budget de mouvements est confortable. Concentrez-vous sur la nomination mentale de chaque disque - “petit”, “moyen”, “grand” - pour ne jamais confondre quel disque vous ciblez. Tracez les trois phases avant de toucher quoi que ce soit. Après chaque partie, expliquez les phases à voix haute : “J’ai dégagé deux disques vers le milieu, déplacé le grand, reconstruit par-dessus.”
Conseil : Le plus grand disque devrait se déplacer exactement une fois par solution complète. Si vous ressentez le besoin de le déplacer à nouveau, vous avez brisé la structure de l’algorithme. Le déplacement unique du plus grand disque est un jalon - tout ce qui précède prépare le chemin ; tout ce qui suit empile par-dessus.
5 à 6 disques (intermédiaire) : Le budget de mouvements se resserre. Chaque mouvement errant vous coûte. Appliquez l’algorithme récursif strictement à chaque niveau. Quand vous descendez récursivement de n à n-1 disques, votre focus mental devrait changer : vous résolvez maintenant un puzzle Hanoï plus petit avec un ensemble différent de tiges “source”, “cible” et “auxiliaire”. Suivez quel rôle joue chaque tige à chaque niveau de récursion.
L’échange de tige auxiliaire. À chaque niveau de récursion, une tige est la source, une est la cible, et une est auxiliaire. Ces rôles tournent quand vous descendez en récursion. Lors du déplacement de n-1 disques de la tige 1 vers la tige 2, la tige 3 est auxiliaire. Lors du déplacement de n-2 disques de la tige 1 vers la tige 3, la tige 2 est auxiliaire. Suivez consciemment cet échange - c’est la source de confusion la plus courante à 5 et 6 disques.
7 disques (défi) : Avec 127 mouvements minimum et un budget serré, vous ne pouvez pas penser mouvement par mouvement. Pensez phase par phase. Avant de commencer, cartographiez la structure de haut niveau : déplacer 6 disques vers le milieu (63 mouvements), déplacer le plus grand disque vers la droite (1 mouvement), déplacer 6 disques vers la droite (63 mouvements). Puis subdivisez chaque phase de 6 disques de la même façon. Cette planification descendante réduit la charge cognitive et évite l’erreur de perdre de vue dans quelle phase vous êtes.
Attention : À 7 disques, essayer de mémoriser la séquence mouvement par mouvement est peu fiable et inutile. Faites confiance à l’algorithme. Quand vous appliquez la règle récursive à chaque point de branchement, le mouvement correct est toujours déterminé. Le doute et les hésitations sont la façon dont vous brûlez des mouvements et épuisez le budget.
Erreurs courantes
Le traiter comme un puzzle d’essais et erreurs. Les mouvements aléatoires semblent parfois productifs mais s’accumulent en impasses. Hanoï est un algorithme, pas un puzzle à résoudre par expérimentation. Supprimez le hasard de votre réflexion entièrement.
Perdre de vue les rôles des tiges. Sur trois tiges identiques, “source”, “cible” et “auxiliaire” peuvent se brouiller, surtout à des comptes de disques élevés. Avant de commencer, étiquetez les tiges explicitement dans votre esprit : GAUCHE = départ, CENTRE = milieu, DROITE = cible. Utilisez ces étiquettes de façon cohérente à chaque niveau de récursion.
Déplacer le plus grand disque plus d’une fois. Au niveau supérieur de récursion, le plus grand disque se déplace exactement une fois. Si vous ressentez le besoin de le déplacer à nouveau, arrêtez - la structure de l’algorithme s’est brisée. Revenez au cadre en trois phases et identifiez où vous avez dévié.
Le point de contrôle du plus grand disque. À chaque niveau de récursion, le n-ième disque devrait se déplacer exactement une fois. Après avoir complété la première sous-phase (déplacer n-1 disques vers la tige auxiliaire), le n-ième disque devrait être libre et non déplacé. Après l’étape 2, il devrait être sur la tige cible. Si ce n’est pas le cas, vous avez dévié de l’algorithme.
Épuiser les mouvements. Cela ne se produit que quand vous ne suivez pas l’algorithme, ou quand vous avez fait puis mentalement “annulé” des mouvements (changé d’avis en milieu d’exécution et essayé un autre chemin). Engagez-vous dans l’algorithme. Il est optimal - il n’existe pas de meilleur chemin.
Attention : Une fois que vous avez décidé d’un mouvement en utilisant l’algorithme récursif, engagez-vous. Remettre en question en milieu d’exécution entraîne des mouvements gaspillés. L’algorithme garantit l’optimalité - faites-lui confiance et exécutez sans hésitation.
Un plan de pratique
Semaine 1 - Internalisation de l’algorithme (3 disques). Jouez des parties à 3 disques chaque jour. Après chaque partie, décrivez les trois phases à voix haute. Répétez jusqu’à ce que le motif soit si familier que vous puissiez narrer toute la solution avant de faire le premier mouvement.
Semaine 2 - Mise à l’échelle (4 à 5 disques). Passez aux parties à 4 disques. La récursion descend maintenant deux niveaux. Après chaque partie, tracez la structure : “J’ai récursé à 3, déplacé le grand disque, récursé à nouveau.” Jouez trois à quatre parties à 4 disques, puis passez à 5.
Semaine 3 - Pression (6 disques). À 6 disques, le budget de mouvements devient la contrainte contraignante. Jouez avec l’algorithme comme seul guide. Visez à compléter deux parties à 6 disques dans les cinq mouvements du minimum (63 mouvements). Suivez votre compte de mouvements et regardez-le tomber vers 63 dans la semaine.
Semaine 4 - Maîtrise (7 disques). Tentez les puzzles à 7 disques. Appliquez la planification de phase descendante avant de toucher un disque. Trois victoires consécutives à 7 disques avec un compte de mouvements proche de 127 signale une vraie maîtrise.
Conseil : Gardez un journal de vos comptes de mouvements par niveau de disques. Regarder votre compte tomber vers le minimum au fil des sessions est le signal externe le plus clair que le motif récursif s’internalise. Des comptes au-dessus de 130 pour 7 disques signifient que des mouvements errants apparaissent encore ; en dessous de 135 avec cohérence signifie que la structure est solide.
La Tour de Hanoï est l’un des rares jeux où la maîtrise est à la fois absolue et mesurable. Soit vous connaissez l’algorithme récursif et l’exécutez, soit vous ne le connaissez pas. Une fois que vous le faites, chaque niveau de difficulté cède à la même logique. Ralentissez, nommez vos phases, faites confiance à l’algorithme, et la solution est toujours là.
Tours de Hanoï
Le classique · déplace la tour entière de disques vers un autre pieu, un disque à la fois, jamais un grand sur un plus petit
Jouer maintenant - c'est gratuitAucun compte nécessaire. Fonctionne sur tout appareil.
