बासेल समस्या क्या है?
बासेल समस्या पूछती है: 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ⋯ का सटीक मान क्या है? श्रेणी अभिसारी है, पर किस मान पर? पिएत्रो मेंगोली ने यह प्रश्न 1650 में पूछा। 84 वर्षों तक हर गणितज्ञ इसके आगे अटका रहा, जब तक 1734 में 28 वर्ष की आयु में ऑयलर ने इसे हल नहीं कर दिया।
आंशिक योग धीरे-धीरे π²/6 ≈ 1.6449 की ओर बढ़ते हैं। 1734 में ऑयलर ने सिद्ध किया कि सीमा π²/6 है, और इस तरह विश्लेषण को ज्य ामिति से जोड़ा।
ऑयलर के प्रमाण में sin(x)/x की टेलर श्रेणी को उसके शून्यों ±π, ±2π, ±3π… पर एक अनंत गुणनफल के रूप में लिखा गया। गुणनफल रूप के x² गुणांक की टेलर गुणांक से तुलना करने पर सीधे Σ 1/n² = π²/6 मिल जाता है। यह गणित की सबसे प्रसिद्ध गणनाओं में से एक है, और यहाँ π का आना संयोग नहीं है: रीमान जीटा फलन के माध्यम से वृत्त और गोले स्वाभाविक रूप से पूर्णांकों के योगों से जुड़े होते हैं।
प्रत्येक पद 1/n^2 तेज़ी से घटता है। उनका योग ठीक pi^2/6 ~1.6449 की ओर अभिसरित होता है।
यह परिणाम आगे भी सामान्यीकृत होता है: ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945, और सभी सम जीटा मान π की घातों के परिमेय गुणज हैं। विषम मान ζ(3), ζ(5), ζ(7)… कहीं अधिक रहस्यमय हैं। अपेरी ने 1978 में सिद्ध किया कि ζ(3) अपरिमेय है, लेकिन π के रूप में उसका कोई बंद रूप ज्ञात नहीं है।
दो यादृच्छिक पूर्णांकों के परस्पर सहाभाज्य (coprime) होने की प्रायिकता ठीक 6/pi^2 होती है, जो pi^2/6 का व्युत्क्रम है। यह लगभग 60.8% है। इससे बासेल समस्या सीधे संख्या-सिद्धांत और प्रायिकता से जुड़ जाती है।
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
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