गाउसियन समाकल क्या है?
फलन e^(−x²) वही घंटी-आकृति वक्र है: x = 0 पर इसका मान 1 होता है और दोनों दिशाओं में यह सममित रूप से 0 की ओर घटता जाता है। पूरी वास्तविक रेखा पर इसके नीचे का क्षेत्रफल ठीक √π ≈ 1.7724 होता है। यह चकित करने वाली बात है: e और π, जो आम तौर पर अलग-अलग संदर्भों में मिलते हैं, यहाँ प्रायिकता सिद्धांत के सबसे सरल समाकल में एक साथ आ जाते हैं।
The integral of e^(−x²) over all x equals √π ≈ 1.7725. This is the Gaussian integral. Its square root divided by √(2π) gives the standard normal distribution curve.
इसका प्रमाण गणित की सबसे सुंदर तरकीबों में से एक है। मान लें I = ∫e^(−x²)dx. अब I² को x और y पर द्वि-समाकल लिखकर निकालें, फिर ध्रुवीय निर्देशांकों r, θ में बदल दें। तब समाकलनफल e^(−r²) बन जाता है और क्षेत्र-तत्व r·dr·dθ हो जाता है। यही r समाकल को सरल बनाता है: ∫₀^∞ re^(−r²)dr = 1/2. इसे ∫₀^(2π) dθ = 2π से गुणा करने पर I² = π मिलता है, इसलिए I = √π.
नॉर्मल वितरण, केंद्रीय सीमा प्रमेय, क्वांटम तरंग-फलन (जो गाउसियन वेव पैकेट का उपयोग करते हैं) और फैक्टोरियल के लिए स्टर्लिंग का सन्निकटन–सब इसी एक समाकल पर टिके हैं। जहाँ कहीं e^(−x²) का समाकल आता है, वहाँ √π प्रकट होता है, और सतत प्रायिकता में यह लगभग हर जगह दिखाई देता है।
गाउसियन समाकल, अर्थात −∞ से +∞ तक e^(-x^2) dx का समाकल, sqrt(pi) के बराबर होता है। सुंदर प्रमाण में पहले समाकल का वर्ग लिया जाता है, फिर उसे ध्रुवीय निर्देशांकों में बदलकर ठीक-ठीक निकाला जाता है। यही गणना नॉर्मल वितरण के पीछे की कुंजी है: प्रायिकता घनत्व (1/sqrt(2*pi))*e^(-x^2/2) का समाकल 1 होता है। गाउसियन फलन क्वांटम यांत्रिकी, ऊष्मा प्रसार, स्टर्लिंग के सन्निकटन और केंद्रीय सीमा प्रमेय में दिखाई देता है।
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
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