Christoffer De Geer 20 Mart 2026

Gauss İntegrali nedir?

∫₋∞^∞ e^(−x²) dx = √π

√π ≈ 1.7724538509. Kanıt 2 boyutta kutupsal koordinatları kullanır.

e^(−x²) fonksiyonu çan eğrisidir: x = 0 iken 1'de zirve yapar ve her iki yönde simetrik olarak 0'a düşer. Tüm gerçel doğru boyunca altındaki alan tam olarak √π ≈ 1,7724'e eşittir. Bu dikkat çekicidir: genellikle ayrı bağlamlarda karşılaşılan e ve π, olasılık teorisinin en basit integralinde birleşir.

Bell curve e^(−x²): area = √π

The integral of e^(−x²) over all x equals √π ≈ 1.7725. This is the Gaussian integral. Its square root divided by √(2π) gives the standard normal distribution curve.

Kanıt, matematiğin en zarif numaralarından biridir. I = ∫e^(−x²)dx olsun. I²'yi, x ve y üzerinde bir çift katlı integral olarak yazıp ardından kutupsal koordinatlar r, θ'ya geçerek hesaplayın. İntegrand e^(−r²) olur ve alan elemanı r·dr·dθ olur. r, integrali temel hale getirir: ∫₀^∞ re^(−r²)dr = 1/2. ∫₀^(2π) dθ = 2π ile çarpmak I² = π verir, dolayısıyla I = √π.

Normal distribution formula

f(x) = (1/σ√(2π)) · e^(−(x−μ)²/2σ²)

σ = standard deviation, μ = mean

The 1/√(2π) normalisation factor comes directly from the Gaussian integral: ∫e^(−x²)dx = √π.

Normal dağılım, merkezi limit teoremi, kuantum dalga fonksiyonları (Gauss dalga paketlerini kullanan) ve faktöriyeller için Stirling yaklaşımının hepsi bu tek integrale dayanır. √π değeri, e^(−x²) integre edildiği her yerde görünür ve bu da sürekli olasılıkta neredeyse her yer demektir.

Pi (π) → Euler Sayısı e → Stirling Yaklaşımı → Wallis Çarpımı → Kalkülüsün Temel Teoremi →

The squaring trick: ∫e^(−x²)dx = √π

I² = ∫∫ e^(−x²−y²) dx dy = ∫₀^∞ e^(−r²) 2πr dr = π

Step 1: Square I – convert to double integral over the plane

Step 2: Switch to polar coordinates (r, θ) – the θ integral gives 2π

Step 3: Substitute u = r² – the r integral gives 1/2. Therefore I² = π, so I = √π.

İlgili konular

Pi E Kalkülüsün Temel Teoremi

Gauss İntegrali hakkında temel bilgiler

Gauss integrali: e^(-x^2) dx'in -sonsuzdan +sonsuza integrali = sqrt(pi). Zarif kanıt, integralin karesini alır, kutupsal koordinatlara dönüştürür ve tam olarak hesaplar. Bu, normal dağılımın arkasındaki temel hesaplamadır: olasılık yoğunluğu (1/sqrt(2*pi))*e^(-x^2/2)'nin integrali 1'dir. Gauss fonksiyonu kuantum mekaniğinde, ısı difüzyonunda, Stirling yaklaşımında ve merkezi limit teoreminde görünür.

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

✓

⚙Engineering

✓

🧬Biology

–

💻Computer Sci

–

📊Statistics

✓

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Gauss integrali normal dağılımla nasıl ilişkilidir?

tap · space

1 / 10

Oynamaya hazır mısınız?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Şimdi oyna - ücretsiz

Hesap gerekmez. Her cihazda çalışır.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.