Стала Ердеша—Борвейна E — це сума 1/(2¹−1) + 1/(2²−1) + 1/(2³−1) + ⋯ = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + 1/31 + ⋯. Знаменники — це числа Мерсенна 2ⁿ − 1. Пол Ердеш довів у 1948 році, що ця сума ірраціональна. Чи є вона трансцендентною, досі невідомо.
Часткові суми швидко збігаються до E ≈ 1.6066951524. Оскільки знаменники 2^n−1 ростуть геометрично, збіжність набагато швидша, ніж у базельській задачі.
Ряд збігається геометрично швидко: кожний член приблизно дорівнює половині попереднього (оскільки 2ⁿ − 1 ≈ 2ⁿ для великих n). Уже після 20 членів сума точна до 6 знаків після коми. Еквівалентність E = Σ d(n)/2ⁿ (де d(n) рахує непарні дільники числа n) пов’язує її з теорією подільності.
Чи є E трансцендентною, невідомо. Те, що робить доказ ірраціональності Ердеша таким пам’ятним, — це його економність: він використав той факт, що двійкові записи знаменників 1, 3, 7, 15, 31… (тобто 1, 11, 111, 1111, 11111 у двійковій системі) мають особливу структуру, яка не дає сумі бути раціональною. Значення: 1.60669515245214159769492939967985…
Кожний знаменник 2^n − 1 приблизно вдвічі більший за попередній. Сума збігається до E ≈ 1.6066951524.
Стала Ердеша—Борвейна E = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + ... ≈ 1.60669. Пол Ердеш довів у 1948 році, що вона ірраціональна, використавши двійкові властивості знаменників 2^n - 1. Вона дорівнює сумі d(n)/2^n, де d(n) рахує непарні дільники n. Ряд збігається швидко: кожний член приблизно дорівнює половині попереднього. Чи є вона трансцендентною, невідомо. Значення: 1.60669515245214159769492939967985...