Τα ζεύγη δίδυμων πρώτων (p, p+2) φαίνονται με κόκκινο. Φαίνεται να συνεχίζονται για πάντα, αλλά η εικασία των δίδυμων πρώτων παραμένει αναπόδεικτη.
Το 2013 ο Τζανγκ απέδειξε για πρώτη φορά ότι άπειρα ζεύγη πρώτων βρίσκονται σε φραγμένη απόσταση. Μέσα σε έναν χρόνο το φράγμα έπεσε από 70 εκατομμύρια στο 246.
Οι δίδυμοι πρώτοι είναι ζεύγη πρώτων που διαφέρουν κατά 2: (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31)... Η εικασία των δίδυμων πρώτων, ότι υπάρχουν άπειρα τέτοια ζεύγη, παραμένει αναπόδεικτη. Η σταθερά δίδυμων πρώτων C2 ≈ 0.66016 εμφανίζεται στην εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ. Το 2013 ο Τζανγκ απέδειξε ότι υπάρχουν άπειρα ζεύγη πρώτων με χάσμα μικρότερο από 70 εκατομμύρια. Το έργο Πολύμαθ το μείωσε γρήγορα στο 246. Το αν το χάσμα μπορεί να μειωθεί στο 2 (αποδεικνύοντας την εικασία) παραμένει ανοικτό.