อนันต์คืออะไร?
|N| = |Z| = |Q| < |R|
อนันต์ที่นับได้มีขนาดเล็กกว่าอนันต์ที่นับไม่ได้อย่างเคร่งครัด
อนันต์ไม่ใช่สิ่งเดียวกันทั้งหมด เกออร์ก คันทอร์ แสดงในปี 1874 ว่าอนันต์บางแบบมีขนาดใหญ่กว่าบางแบบอย่างแท้จริง จำนวนเต็ม เศษส่วน และจำนวนคู่ ล้วนมีความเป็นอนันต์เท่ากันทั้งหมด แต่จำนวนจริงก่อเป็นอนันต์ที่ใหญ่กว่า ซึ่งไม่อาจเขียนเรียงเป็นรายการได้ ความคิดนี้เปลี่ยนรากฐานของคณิตศาสตร์ไปตลอดกาล.
วิธีทแยงมุมของคันทอร์: ทำไมจำนวนจริงจึงไม่อาจเขียนเป็นรายการได้
ขนาดของอนันต์: ลำดับชั้นที่เข้มงวด
จำนวนธรรมชาติ จำนวนเต็ม และจำนวนตรรกยะ ล้วนเป็นอนันต์แบบนับได้ทั้งหมด: สามารถจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งกันได้ทั้งหมด ส่วนจำนวนจริงเป็นอนันต์แบบนับไม่ได้ ซึ่งใหญ่กว่าอย่างเคร่งครัด ระหว่างขนาดสองแบบนี้ สมมติฐานคอนทินิวอัมตั้งคำถามว่ามีอะไรอยู่ตรงกลางหรือไม่
โรงแรมของฮิลแบร์ต: โรงแรมที่มีห้องอนันต์ เต็มหมดแล้วก็ยังมีที่ว่าง
ข้อเท็จจริงสำคัญเกี่ยวกับอนันต์
คันทอร์ พิสูจน์ในปี 1874 ว่าอนันต์ไม่ได้เท่ากันทั้งหมด จำนวนธรรมชาติ จำนวนเต็ม และจำนวนตรรกยะเป็นอนันต์แบบนับได้: เราสามารถเรียงพวกมันเป็นรายการได้ แต่จำนวนจริงเป็นอนันต์แบบนับไม่ได้และมีขนาดใหญ่กว่าอย่างเคร่งครัด วิธีทแยงมุมของคันทอร์แสดงว่าไม่มีรายการของจำนวนจริงใดจะครบถ้วนได้ โรงแรมของฮิลแบร์ตเผยให้เห็นว่าอนันต์มีพฤติกรรมสวนทางกับสัญชาตญาณอย่างไร: โรงแรมที่เต็มทุกห้องแล้วก็ยังรองรับแขกใหม่ได้อยู่เสมอ.
Question
สมมติฐานคอนทินิวอัมคืออะไร?
tap · space
1 / 10