คู่จำนวนเฉพาะแฝด (p, p+2) แสดงด้วยสีแดง ดูเหมือนว่าจะมีต่อไปไม่สิ้นสุด แต่ข้อคาดเดาเรื่องจำนวนเฉพาะแฝดยังไม่ได้รับการพิสูจน์
ในปี 2013 จางพิสูจน์ได้เป็นครั้งแรกว่ามีคู่จำนวนเฉพาะอนันต์จำนวนมากที่อยู่ห่างกันไม่เกินค่าคงที่ ภายในหนึ่งปี ค่าขอบเขตลดจาก 70 ล้านลงเหลือ 246
จำนวนเฉพาะคู่แฝดคือคู่จำนวนเฉพาะที่ต่างกัน 2 เช่น (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31)... สมมติฐานจำนวนเฉพาะคู่แฝดที่ว่ามีอยู่ไม่สิ้นสุดยังไม่ได้รับการพิสูจน์ ค่าคงที่จำนวนเฉพาะคู่แฝด C2 ≈ 0.66016 ปรากฏในสมมติฐานของ Hardy-Littlewood ในปี 2013 จางพิสูจน์ว่ามีคู่จำนวนเฉพาะอยู่อย่างไม่สิ้นสุดที่มีช่องว่างน้อยกว่า 70 ล้าน และโครงการ Polymath ก็ลดค่าดังกล่าวลงอย่างรวดเร็วเหลือ 246 คำถามว่าช่องว่างนี้จะลดลงถึง 2 ได้หรือไม่ ซึ่งเท่ากับการพิสูจน์สมมติฐาน ยังคงเปิดอยู่.