カタラン定数とは？
交代級数 1 − 1/9 + 1/25 − … が G に収束する様子
G = 1 − 1/9 + 1/25 − 1/49 + … = Σ (−1)^n/(2n+1)^2。交代級数はゆっくり収束する。G が無理数かどうかは未解決である。
カタラン定数の3つの等価な表現
G = Σₙ₌₀^∞ (−1)ⁿ/(2n+1)² ≈ 0.91597…
G = ∫₀¹ arctan(t)/t dt = ∫₀^(π/2) ln(1/sin t)/2 · dt
これら 3 つの表現はすべて等しい。G は組合せ論、物理学、解析学に現れる。
カタラン定数の要点
カタラン定数 G = 1 - 1/9 + 1/25 - 1/49 + ... = 0.91596559... は、ディリクレのベータ関数 β(2) の値でもある。組合せ論やいくつかの積分評価に現れるが、無理数かどうかは数学の大きな未解決問題の一つである。1865 年にウジェーヌ・カタランが研究し、現在では 6000 億桁以上まで計算されている。
使用分野
数学
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物理学
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工学
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生物学
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計算機科学
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統計学
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金融
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芸術
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建築
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音楽
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暗号学
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天文学
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化学
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哲学
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地理学
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生態学
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問題
Catalanの定数は他にどこに現れますか？
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