カタラン定数とは？

交代級数 1 − 1/9 + 1/25 − … が G に収束する様子

G = 1 − 1/9 + 1/25 − 1/49 + … = Σ (−1)^n/(2n+1)^2。交代級数はゆっくり収束する。G が無理数かどうかは未解決である。

カタラン定数の3つの等価な表現

G = Σₙ₌₀^∞ (−1)ⁿ/(2n+1)² ≈ 0.91597…

G = ∫₀¹ arctan(t)/t dt = ∫₀^(π/2) ln(1/sin t)/2 · dt

これら 3 つの表現はすべて等しい。G は組合せ論、物理学、解析学に現れる。

関連トピック

アペリーリーマンゼータガウス積分

アペリーの定数 → エルデシュ＝ボルヴァイン定数 → リーマンゼータ関数 → オイラー＝マスケローニ定数 γ →

カタラン定数の要点

カタラン定数 G = 1 - 1/9 + 1/25 - 1/49 + ... = 0.91596559... は、ディリクレのベータ関数 β(2) の値でもある。組合せ論やいくつかの積分評価に現れるが、無理数かどうかは数学の大きな未解決問題の一つである。1865 年にウジェーヌ・カタランが研究し、現在では 6000 億桁以上まで計算されている。

使用分野

∑数学

✓

⚛物理学

✓

⚙工学

–

🧬生物学

–

💻計算機科学

–

📊統計学

–

📈金融

–

🎨芸術

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🏛建築

–

♪音楽

–

🔐暗号学

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🌌天文学

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⚗化学

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🦉哲学

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🗺地理学

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🌿生態学

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Question

Catalanの定数は誰にちなんで名付けられましたか？

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