ζ(3) ialah nilai fungsi zeta Riemann pada 3: jumlah 1/n³ ke atas semua bilangan bulat positif. Bagi input genap, Euler menemui bentuk tertutup yang indah: ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945. Bagi input ganjil, tiada formula seperti itu diketahui. Sama ada ζ(3) melibatkan π sama sekali masih belum diketahui.
ζ(3) terletak di antara dua nilai yang mempunyai bentuk tertutup yang diketahui melibatkan pi. Sama ada ζ(3) sendiri melibatkan pi masih belum diketahui.
Pada tahun 1978, Roger Apéry mengumumkan satu bukti bahawa ζ(3) ialah nombor tak nisbah. Para hadirin ragu-ragu. Henri Cohen dan ahli matematik lain bergegas pulang untuk memeriksanya di komputer semalaman. Keesokan paginya mereka mengesahkan bahawa bukti itu betul. “Ia seperti guruh di langit cerah,” kata salah seorang hadirin. Apéry berusia 64 tahun.
Jumlah-jumlah separa 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64... menghampiri ζ(3) ≈ 1.20206 dari bawah. Penumpuannya perlahan: walaupun pada n=50, jumlah itu masih kira-kira 0.003 di bawah nilai sebenar.
Sama ada ζ(3) boleh dinyatakan dalam sebutan π ialah persoalan terbuka yang besar. Semua nilai zeta genap ialah gandaan nisbah bagi kuasa π yang sepadan. Nilai ganjil kelihatan hidup dalam dunia yang berbeza. Tak terhingga banyak nilai ganjil ζ(2n+1) diketahui tak nisbah (Rivoal, 2000), tetapi corak tepatnya masih misteri. Nilai penuhnya: 1.20205690315959428539973816151144999…
ζ(2k) = nombor nisbah × π^(2k) bagi semua k genap. Euler membuktikan ini untuk semua nilai genap. Tetapi ζ(3), ζ(5), ζ(7)... sama sekali berbeza. ζ(3) tak nisbah (Apéry), tetapi tiada hubungan dengan π yang diketahui. Ia mungkin benar-benar bebas daripada π.
Jadual yang menunjukkan nilai zeta pada bilangan bulat genap diketahui sebagai pecahan pi, manakala nilai ganjil masih tidak diketahui
| s genap: formula tepat | s ganjil: misteri |
|---|---|
| ζ(2) = π²/6 | ζ(3) = 1.20206... |
| ζ(4) = π⁴/90 | tak nisbah (Apéry, 1978) |
| ζ(6) = π⁶/945 | ζ(5) = 1.03693... |
| ζ(8) = π⁸/9450 | tak nisbah? tidak diketahui |
| Semua = nisbah × π^s | Tiada hubungan π yang diketahui |
Tidak diketahui. Roger Apéry membuktikan pada tahun 1978 bahawa zeta(3) tak nisbah, tetapi sama ada ia transenden masih merupakan masalah terbuka. Ia dipercayai secara meluas sebagai transenden, tetapi tiada bukti wujud.
Dalam elektrodinamik kuantum (pembetulan kepada momen magnet elektron), teori matriks rawak, dan entropi model Ising dua dimensi. Ia juga muncul dalam taburan Fermi-Dirac dan Bose-Einstein dalam mekanik statistik.
Ramanujan menemui siri yang menumpu dengan pantas bagi zeta(3), termasuk formula yang melibatkan 7π^3/180 dan jumlah ke atas eksponen. Buku notanya mengandungi berpuluh-puluh identiti berkaitan zeta(3), kebanyakannya hanya dibuktikan beberapa dekad selepas kematiannya.
Integer A(n) = jumlah C(n,k)^2 C(n+k,k)^2 ke atas k, yang muncul dalam bukti Apéry tentang ketaknisbahan. Beberapa yang pertama ialah 1, 5, 73, 1445, 33001. Nombor-nombor ini memenuhi satu hubungan rekuren dan tumbuh dengan cara yang memaksa penyebut jumlah separa 1/n^3 membatalkan faktor-faktor tertentu, sekali gus menjadikan had itu tak nisbah.
Pemalar Apéry ζ(3) ialah jumlah 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + ... = 1.20205690315959. Bagi nilai genap s, Euler menemui bentuk tertutup yang melibatkan pi: ζ(2) = pi^2/6, ζ(4) = pi^4/90. Bagi nilai ganjil, tiada formula seperti itu diketahui. Roger Apéry membuktikan pada tahun 1978 bahawa ζ(3) tak nisbah ketika berusia 64 tahun. Sama ada ia transenden, atau boleh dinyatakan dalam sebutan pi, masih belum diketahui.