Apakah Pemalar Khinchin?

K₀ ≈ 2.68545200106530
(a₁·a₂·a₃⋯aₙ)^(1/n) → K₀ bagi hampir setiap nombor nyata.

Setiap nombor nyata mempunyai pecahan berterusan: x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + ⋯)). Integer a₁, a₂, a₃, … ialah pekali separanya. Bagi π ia ialah 3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2… Bagi √2 ia ialah 1; 2, 2, 2, 2, 2… (berkala, semuanya 2). Khinchin membuktikan pada tahun 1934 bahawa bagi hampir setiap nombor nyata, min geometri pekali separa ini menumpu kepada pemalar yang sama, K₀ ≈ 2.68545.

Taburan Gauss-Kuzmin: kebarangkalian bagi setiap pekali separa
0.20750.4150.4150.16990.09310.05890.04060.02970.02270.0179k=1k=2k=3k=4k=5k=6k=7k=8

P(k) = log₂(1 + 1/k(k+2)). Pekali separa 1 muncul dalam kira-kira 41% daripada semua pengembangan pecahan berterusan bagi nombor nyata rawak.

Rumus bagi K₀ ialah K₀ = ∏(k=1 hingga ∞) (1 + 1/(k(k+2)))^(log₂(k)), dan hasil darab ini menumpu dengan sangat perlahan. Teorem Khinchin ialah contoh hasil yang benar bagi hampir setiap nombor tetapi tidak dapat disahkan bagi satu pemalar khusus pun. Kita belum dapat menunjukkan satu contoh nombor terkenal yang dipastikan mematuhinya.

Kebarangkalian terkumpul: bahagian yang diliputi oleh angka 1 hingga k
0.42390.84780.4150.58490.6780.73690.77750.80720.82990.847812345678

Menjelang k=3, lebih dua pertiga daripada semua pekali separa sudah diambil kira. Jujukan ini menumpu perlahan-lahan ke arah 1.

Hakikat bahawa 1 mendominasi (41.5%) menerangkan mengapa K₀ ≈ 2.685 lebih kecil daripada 3: nilai-nilai kecil menarik min geometri ke bawah. Jika semua angka dari 1 hingga 9 sama-sama mungkin, min geometrinya ialah (1·2·3⋯9)^(1/9) = 9!^(1/9) ≈ 4.15. Pemberatan yang berat ke arah 1 menjadikan K₀ jauh lebih kecil.

Pecahan berlanjutan: struktur bersarang dihuraikan
x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + 1/(a₃ + …)))
= a₀ + 1/a₁ + 1/a₁a₂ + … (penghampiran terpotong)
Bagi hampir semua x nyata, min geometri a₀, a₁, a₂, … menumpu kepada pemalar Khinchin K₀ ≈ 2.6854.
Topik berkaitan
Pecahan Berlanjutan Nombor Tak Nisbah Pemalar Lévy
Fakta utama tentang Pemalar Khinchin

Pemalar Khinchin K₀ ≈ 2.68545 ialah had sejagat: bagi hampir setiap nombor nyata x = [a0; a1, a2, ...], min geometri pekali pecahan berterusan (a1*a2*...*an)^(1/n) menumpu kepada K₀. Khinchin membuktikannya pada tahun 1934. Aspek yang paling menonjol ialah kesejagatannya: hampir setiap nombor berkongsi min geometri ini, namun keputusan itu belum dapat dibuktikan bagi mana-mana pemalar terkenal tertentu seperti pi atau e. Sama ada K₀ algebra atau transenden masih belum diketahui.

Digunakan dalam
Matematik
Fizik
Teknik
🧬Biologi
💻Ilmu Komputer
📊Statistik
📈Kewangan
🎨Seni
🏛Seni bina
Muzik
🔐Kriptografi
🌌Astronomi
Kimia
🦉Falsafah
🗺Geografi
🌿Ekologi
Want to test your knowledge?
Question
Apakah pemalar Lévy?
tap · space
1 / 10