Siri harmonik 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ mencapah, tetapi ia bertambah dengan sangat perlahan. Selepas sejuta sebutan pun nilainya baru sekitar 14. Logaritma semula jadi ln(n) tumbuh pada kadar yang sama. Pemalar Euler-Mascheroni γ ialah jurang tepat antara kedua-duanya: γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n).
Perbezaan antara jumlah harmonik dan ln(n) menghampiri γ ≈ 0.5772 apabila n → ∞. Penumpuannya sangat perlahan – jurang itu masih 0.001 pada n = 1000.
γ muncul di seluruh analisis dan teori nombor. Ia menghubungkan siri harmonik dengan fungsi zeta Riemann: γ = -ζ'(1) dalam erti formal. Ia muncul dalam fungsi Gamma melalui Γ'(1) = -γ, dalam taburan jurang nombor perdana, dalam fungsi Bessel, dan dalam pengembangan asimptotik fungsi digamma.
Sama ada γ nisbah atau tak nisbah ialah salah satu masalah terbuka tertua dalam matematik. Hampir semua ahli matematik percaya ia transenden, tetapi tiada bukti wujud. Ia telah dikira hingga lebih 600 bilion tempat perpuluhan: 0.57721566490153286060651209008240243…
Jumlah separa harmonik H(n) (merah, bertangga) berbanding ln(n)+γ (biru, licin). Jurang antara kedua-duanya menghampiri 0 tetapi berayun: H(n)−ln(n) → γ.
Pemalar Euler-Mascheroni gamma ialah kira-kira 0.57721566490153286060. Sama ada ia nisbah atau tak nisbah masih belum diketahui, dan ini ialah salah satu masalah terbuka paling terkenal dalam matematik. Euler mula-mula menerbitkannya pada tahun 1734; Mascheroni mengiranya secara bebas pada tahun 1790. Gamma muncul dalam fungsi Gamma, fungsi zeta Riemann, teorem Mertens tentang hasil darab nombor perdana, fungsi Bessel, dan taburan jurang nombor perdana. Oleh sebab tiada algoritma penstriman wujud, angka-digitnya telah diprakira dan disimpan.
Pemalar Euler-Mascheroni γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the had harmonik-logaritma.