φ (phi) ialah penyelesaian positif kepada x² = x + 1. Persamaan ini mempunyai makna geometri: jika anda membahagikan satu segmen garis supaya nisbah keseluruhan kepada bahagian yang lebih panjang sama dengan nisbah bahagian yang lebih panjang kepada bahagian yang lebih pendek, nisbah itu ialah φ. Tiada nombor lain yang mempunyai sifat serupa-diri ini.
Jadual nisbah Fibonacci yang menumpu kepada phi
| Pasangan Fibonacci | nisbah | jarak ke φ |
|---|---|---|
| 1, 1 | 1.000 | 0.618 |
| 2, 3 | 1.500 | 0.118 |
| 8, 13 | 1.625 | 0.007 |
| 55, 89 | 1.61818… | 0.00015 |
| → ∞ | 1.61803… | 0 |
Nisbah emas muncul dalam pentagon sekata dan pentagram, di mana pepenjuru berpotongan antara satu sama lain pada nisbah emas. Setiap nombor Fibonacci dibahagi nombor sebelumnya menghampiri φ. Pecahan berlanjutan [1; 1, 1, 1, …] ialah pecahan berlanjutan tak terhingga yang paling ringkas: semuanya 1. Ini menjadikan φ nombor yang paling sukar dihampiri oleh pecahan, lalu memberikannya gelaran "nombor paling tak nisbah".
Potong satu segi empat sama daripada satu segi empat tepat emas. Baki yang tinggal ialah satu lagi segi empat tepat emas, lebih kecil dengan faktor 1/φ. Ulang tanpa henti. Lengkok itu menjejak lingkaran emas yang dilihat pada cangkerang dan galaksi.
φ memenuhi φ² = φ + 1, jadi φ = 1 + 1/φ. Dengan menggantikan berulang kali: φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)). Pecahan berlanjutan tak terhingga yang semuanya 1 ini ialah kedua-dua takrifnya dan sebab bagi statusnya sebagai nombor yang "paling tak nisbah". Dikira hingga ketepatan penuh: 1.61803398874989484820…
Dalam segi lima sekata dengan panjang sisi 1, setiap pepenjuru mempunyai panjang φ ≈ 1.618. Pepenjuru-pepenjuru itu juga membahagi satu sama lain dalam nisbah emas. Lukis kelima-lima pepenjuru dan anda mendapat satu pentagram, yang sendiri penuh dengan perkadaran emas.
Nisbah emas phi ialah kira-kira 1.61803398874989484820. Ia ialah penyelesaian positif kepada x² = x + 1. Phi ialah tak nisbah, algebra, dan nisbah had bagi nombor Fibonacci berturut-turut. Ia muncul dalam pentagon sekata dan ikosahedron, dalam lingkaran biji bunga matahari, dan dalam nisbah yang dikaji sejak Yunani purba. Pecahan berlanjutannya [1; 1, 1, 1, ...] menjadikannya nombor nyata yang paling sukar dihampiri dengan pecahan, sebab itulah filotaksis menggunakan sudut emas yang terbit daripada phi.
Nisbah Emas φ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the formula kuadratik.