Matematik telah membina lima sistem nombor utama, setiap satunya ialah peluasan sistem sebelumnya. Setiap peluasan didorong oleh satu persamaan yang tidak mempunyai penyelesaian: "berapa 3-5?" memaksa lahirnya bilangan bulat; "berapa 1/3?" memaksa nombor nisbah; "berapa sqrt(2)?" memaksa nombor nyata; "berapa sqrt(-1)?" memaksa nombor kompleks.
Jadual yang menunjukkan sifat yang diperoleh dan hilang apabila sistem nombor diperluaskan
| SISTEM | DIPEROLEH | HILANG/BERUBAH |
|---|---|---|
| N (semula jadi) | mengira, +, × | tiada penolakan |
| Z (bilangan bulat) | penolakan, nombor negatif | tiada pembahagian |
| Q (nisbah) | pembahagian, pecahan | tiada sqrt(2) |
| R (nyata) | semua had, sqrt(2), pi | tiada sqrt(-1) |
| C (kompleks) | semua akar polinomial | tertutup secara algebra |
| H (kuaternion) | putaran 3D | ab ≠ ba |
| Setiap peluasan ialah pembesaran sebenar, bukan sekadar penamaan semula |
Biru: nombor semula jadi ℕ. Hijau menambah 0. Ungu meluas kepada bilangan bulat negatif ℤ. Oren menambah pecahan ℚ. Merah: nombor tak nisbah memenuhi selebihnya dalam ℝ.
Matematik mempunyai lima sistem nombor utama: nombor semula jadi N (mengira, tanpa penolakan), bilangan bulat Z (menambah penolakan dan nombor negatif), nombor nisbah Q (menambah pembahagian), nombor nyata R (menambah had dan nombor tak nisbah), serta nombor kompleks C (menambah sqrt(-1)). Setiap peluasan menyelesaikan satu persamaan yang tidak dapat diselesaikan dalam sistem sebelumnya. Nombor kompleks ialah tertutup secara algebra: setiap persamaan polinomial mempunyai penyelesaian di dalam C. Hubungan kandungannya ialah ketat: N di dalam Z di dalam Q di dalam R di dalam C, dengan nombor transenden memenuhi gelang luar bagi R.