Setiap nombor nyata mempunyai penghampiran nisbah terbaik: pecahan p/q yang lebih hampir kepada x daripada mana-mana pecahan dengan penyebut yang lebih kecil. Penyebut q₁, q₂, q₃, … ini bertambah, tetapi pada kadar apa? Paul Lévy membuktikan pada tahun 1935 bahawa bagi hampir setiap nombor nyata, qₙ^(1/n) menumpu kepada e^β ≈ 3.27582, dengan β = π²/(12 ln 2).
Bagi hampir semua nombor nyata, ln(qₙ) tumbuh secara linear dengan kecerunan β ≈ 1.1865. Penyebut konvergen π (1, 7, 106, 113, 33102…) tumbuh lebih cepat secara purata kerana pekali separa anomali 292.
Nisbah emas φ = [1;1,1,1,…] mempunyai penyebut Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … yang tumbuh pada kadar φ ≈ 1.618 bagi setiap langkah. Ini jauh lebih perlahan daripada e^β ≈ 3.276, sebab itulah φ sering dipanggil nombor yang “paling tak nisbah”: penghampiran nisbahnya bertambah baik paling perlahan. Kebanyakan nombor mempunyai penyebut yang tumbuh jauh lebih pantas, pada kadar e^β.
Perbandingan kadar pertumbuhan penyebut bagi nisbah emas berbanding nombor tipikal
| φ = [1;1,1,1,…] | Nombor tipikal |
|---|---|
| qₙ tumbuh sebagai φⁿ ≈ 1.618ⁿ | qₙ tumbuh sebagai (e^β)ⁿ ≈ 3.276ⁿ |
| Pertumbuhan paling perlahan yang mungkin | Teorem Lévy |
Pemalar Lévy dan pemalar Khinchin kedua-duanya datang daripada statistik taburan Gauss-Kuzmin bagi pekali pecahan berterusan. Khinchin mengawal min geometri pekali separa tipikal, manakala Lévy mengawal pertumbuhan penyebut konvergen tipikal. Formula tepatnya amat ringkas: β = π²/(12 ln 2).
Pekali separa 292 pada langkah ke-5 menyebabkan penyebut π tumbuh jauh lebih cepat daripada purata. Bagi nombor yang "tipikal", nisbah ln(qₙ)/n → β ≈ 1.187.
| n | Pekali separa aₙ | Konvergen pₙ/qₙ | Penyebut qₙ | ln(qₙ)/n |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 3/1 | 1 | 0.00 |
| 2 | 7 | 22/7 | 7 | 0.97 |
| 3 | 15 | 333/106 | 106 | 1.55 |
| 4 | 1 | 355/113 | 113 | 1.19 |
| 5 | 292 | 103993/33102 | 33102 | 2.52 |
| 6 | 1 | 104348/33215 | 33215 | 1.74 |
| 7 | 1 | 208341/66317 | 66317 | 1.54 |
Pemalar Lévy β = π²/(12 ln 2) ≈ 1.18656 mengawal pertumbuhan penyebut konvergen dalam pecahan berterusan. Bagi hampir setiap nombor nyata x, punca ke-n bagi penyebut konvergen ke-n menumpu kepada e^β ≈ 3.27582. Paul Lévy membuktikannya pada tahun 1935. Nisbah emas ialah pengecualian terkenal: penyebutnya tumbuh pada kadar Fibonacci, iaitu kira-kira φ ≈ 1.618 setiap langkah, jauh lebih perlahan daripada kadar tipikal e^β.