Teorem Asas Kalkulus menghubungkan dua idea yang kelihatan terpisah. Bahagian 1: jika anda mengamirkankan satu fungsi dari satu titik tetap hingga x, terbitan kamiran itu ialah fungsi asal. Bahagian 2: kamiran tentu bagi f dari a hingga b sama dengan sebarang antiterbitan F yang dinilai pada b tolak nilainya pada a.
∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 − 0 = 8/3 ≈ 2.667. Antiterbitan F(x) = x³/3 memberikan luas tepat tanpa penghampiran.
Sebelum teorem ini, mengira luas memerlukan jumlah Riemann: membahagi rantau kepada segi empat nipis, menjumlahkannya satu demi satu, lalu mengambil had. FTC menggantikan semua itu dengan satu penolakan. Newton memahaminya seawal 1666 dan Leibniz secara bebas menjelang 1675. Pertikaian keutamaan mereka memecahkan matematik Eropah dan British selama satu generasi.
Setiap kamiran yang diajar dalam kursus kalkulus menggunakan Bahagian 2: cari antiterbitan, nilai pada hujung-hujungnya, kemudian tolak. Ini berfungsi kerana pembezaan dan pengamiran ialah operasi songsang yang tepat antara satu sama lain. Ia salah satu keputusan paling mendalam dan paling berguna dalam seluruh matematik.
Jumlah Riemann dengan 8 segi empat memberikan ≈ 0.273. Jawapan tepat ialah 8/3 ≈ 2.667. Teorem Asas memberikan hasil tepat tanpa sebarang segi empat diperlukan.
Usaha yang dilakukan oleh daya berubah F(x) sepanjang sesaran dari a ke b ialah W = kamiran dari a ke b bagi F(x) dx = P(b) - P(a), di mana P ialah fungsi tenaga keupayaan yang memenuhi P' = -F. Halaju diintegralkan menjadi sesaran; daya diintegralkan menjadi impuls. FTC inilah yang menjadikan pengiraan ini boleh dilakukan tanpa memerlukan jumlah Riemann tak terhingga.