Pemalar Gelfond ialah e dipangkatkan kepada π. Nilai hampiriannya ialah 23.14069263277927… Membuktikan bahawa ia transenden ialah Masalah Ketujuh Hilbert, yang dikemukakan pada tahun 1900 sebagai salah satu daripada 23 soalan tak selesai paling penting bagi abad ke-20. Aleksandr Gelfond menyelesaikannya pada tahun 1934.
e^π terletak sangat hampir dengan 23 tetapi terlepas sebanyak 0.14. Kebetulan ini terkenal, tetapi tiada makna yang diketahui.
Mengapa e^π juga sama dengan (−1)^(−i)? Daripada formula Euler, −1 = e^(iπ). Dengan menaikkan kedua-dua belah kepada kuasa −i, kita memperoleh (−1)^(−i) = e^π. Di sinilah analisis kompleks, eksponen, dan teori nombor bertemu. Bukti Gelfond ialah salah satu kemenangan besar pertama teori nombor transenden.
Jadual contoh kuasa algebra yang menghasilkan nombor transenden
| Ungkapan | a | b | Hasil |
|---|---|---|---|
| e^π = (-1)^(-i) | -1 | -i | transenden |
| 2^√2 (Hilbert) | 2 | √2 | transenden |
| √2^√2 | √2 | √2 | transenden |
Teorem Gelfond-Schneider menyatakan bahawa jika a ialah nombor algebra selain 0 dan 1, dan b juga algebra tetapi tak nisbah, maka a^b ialah transenden. Ini membuktikan e^π, 2^√2, dan banyak nombor lain ialah transenden. Yang menarik, sama ada π^e juga transenden masih belum diketahui.
Daripada e^(iπ) = −1, menaikkan kedua-dua belah kepada kuasa −i memberikan e^π = (−1)^(−i).
Pemalar Gelfond ialah e^π ≈ 23.14069. Membuktikan ia transenden ialah Masalah Ketujuh Hilbert (1900). Gelfond menyelesaikannya pada tahun 1934: jika a algebra (bukan 0 atau 1) dan b algebra serta tak nisbah, maka a^b ialah transenden. Oleh sebab e^π = (-1)^(-i), dengan -1 dan -i masing-masing algebra dan -i tak nisbah, teorem itu terpakai. Hampir-kebetulan e^π - π ≈ 19.999 tiada penjelasan matematik yang diketahui.