Fungsi e^(−x²) ialah lengkung loceng: ia mencapai puncak 1 apabila x = 0 dan jatuh secara simetri ke arah 0 di kedua-dua arah. Luas di bawahnya di seluruh garis nyata ialah tepat √π ≈ 1.7724. Ini luar biasa: e dan π, yang biasanya muncul dalam konteks berasingan, bersatu dalam kamiran paling asas dalam teori kebarangkalian.
Kamiran e^(−x²) ke atas semua x ialah √π ≈ 1.7725. Inilah kamiran Gaussian. Punca kuasa duanya, dibahagi dengan √(2π), memberikan lengkung taburan normal piawai.
Buktinya ialah salah satu helah paling elegan dalam matematik. Ambil I = ∫e^(−x²)dx. Kira I² dengan menulisnya sebagai kamiran ganda dua ke atas x dan y, kemudian tukar kepada koordinat kutub r, θ. Pengamiran menjadi e^(−r²) dan unsur luas menjadi r·dr·dθ. Faktor r menjadikan kamiran itu mudah: ∫₀^∞ re^(−r²)dr = 1/2. Mendarab dengan ∫₀^(2π) dθ = 2π memberikan I² = π, jadi I = √π.
Taburan normal, teorem had pusat, fungsi gelombang kuantum (yang menggunakan paket gelombang Gaussian), dan penghampiran Stirling bagi faktorial semuanya bergantung pada kamiran tunggal ini. Nilai √π muncul di mana-mana e^(−x²) diintegralkan, dan itu ternyata berlaku hampir di seluruh kebarangkalian berterusan.
Kamiran Gaussian ialah kamiran dari -tak terhingga hingga +tak terhingga bagi e^(-x^2) dx = √π. Bukti elegan ini mengkuasakan dua kamiran, menukarkannya kepada koordinat kutub, dan menilainya secara tepat. Inilah pengiraan utama di sebalik taburan normal: ketumpatan kebarangkalian (1/√(2π))*e^(-x^2/2) berkamir kepada 1. Fungsi Gaussian muncul dalam mekanik kuantum, resapan haba, penghampiran Stirling, dan teorem had pusat.