Aritmetik modular ialah aritmetik pada suatu bulatan. Dua nombor kongruen modulo n jika perbezaan antara kedua-duanya ialah gandaan n. Jam melakukan aritmetik mod 12: 10 jam selepas pukul 5 ialah 3, bukannya 15. Idea mudah ini mendasari semua kriptografi moden, fungsi cincang, kod pembetulan ralat, dan sebahagian besar teori nombor.
Setiap baris dan lajur mengandungi {0,1,2,3,4} tepat sekali. Lima unsur ini membentuk satu kumpulan tertutup di bawah penambahan mod 5. Merah: jumlah yang berpusing kembali (≥5).
| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 0 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 0 | 1 |
| 3 | 3 | 4 | 0 | 1 | 2 |
| 4 | 4 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Aritmetik modular mentakrifkan kongruens: a kongruen dengan b mod n jika n membahagi a-b. Gauss mensistematikannya pada tahun 1801. Ia mendasari semua kriptografi kunci awam moden: penyulitan RSA bergantung pada Teorem Kecil Fermat, yang menyatakan bahawa a^(p-1) kongruen kepada 1 mod p bagi mana-mana nombor perdana p yang tidak membahagi a. Fungsi cincang menggunakan operasi modular untuk memetakan input besar kepada output bersaiz tetap. Integer mod n membentuk gelang lengkap, dan apabila n ialah perdana, ia membentuk medan terhingga.